Question

4．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{eL}$，電場(chǎng)右側(cè)存在一垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A（0，$\frac{L}{2}$）點(diǎn)以初速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域（不計(jì)電子的重力）．

（1）求電子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度v的大小和方向；
（2）若使電子不能進(jìn)入x＞2L的區(qū)域，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）若x＞L的區(qū)域改為如圖乙所示周期性變化的磁場(chǎng)（以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），在電子從A點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，一不帶電的粒子P從N點(diǎn)沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，最終兩粒子相碰，求粒子P的速度．

Answer 1

分析 （1）電子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求出電子的速度．
（2）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）根據(jù)電子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期求出粒子與電子相碰撞的時(shí)間，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用速度公式可以求出粒子P的速度．

解答 解：（1）電子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：L=v₀t₁，
豎直方向：v_y=at₁=$\frac{eE}{m}$t₁，
電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v=$\sqrt{2}$v₀，
速度與x軸方向夾角θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
解得：θ=45°；
（2）電子在電場(chǎng)中豎直方向的位移：y=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t₁²=$\frac{L}{2}$，
電子從N點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，電子不能進(jìn)入x＞2L的區(qū)域，由幾何關(guān)系可知：Rsinθ+R≤L，
電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{eL}$；
（3）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$，
電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，電子軌道半徑：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{e{B}_{0}}$=$\sqrt{2}$L，
電子經(jīng)過(guò)x軸的時(shí)間：t₂=n$\frac{T}{4}$=$\frac{nπL}{2{v}_{0}}$  （n=1、2、3…）
粒子P與電阻相碰時(shí)的位移：x=$\sqrt{2}$nr  （n=1、2、3…），
兩粒子相碰的時(shí)間：t=t₁+t₂，
粒子P的速度：v_P=$\frac{x}{t}$，
解得：v_P=$\frac{4n{v}_{0}}{2+nπ}$ （n=1、2、3…）；
答：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度v的大小為$\sqrt{2}$v₀，與x軸方向夾45°角；
（2）若使電子不能進(jìn)入x＞2L的區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{eL}$；
（3）粒子P的速度為$\frac{4n{v}_{0}}{2+nπ}$ （n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分別采用不同的處理方法；電子在電場(chǎng)中，關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；在磁場(chǎng)中，關(guān)鍵要畫(huà)出軌跡圖分析，根據(jù)幾何關(guān)系與牛頓第二定律求解．