Question

4．如圖甲所示，在直角坐標系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強電場，場強大小E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{eL}$，電場右側(cè)存在一垂直紙面向外的勻強磁場，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A（0，$\frac{L}{2}$）點以初速度v₀沿x軸正方向射入電場，飛出電場后進入磁場區(qū)域（不計電子的重力）．

（1）求電子進入磁場區(qū)域時速度v的大小和方向；
（2）若使電子不能進入x＞2L的區(qū)域，求磁感應(yīng)強度的大��；
（3）若x＞L的區(qū)域改為如圖乙所示周期性變化的磁場（以垂直于紙面向外為磁場正方向），在電子從A點出發(fā)的同時，一不帶電的粒子P從N點沿x軸正方向做勻速直線運動，最終兩粒子相碰，求粒子P的速度．

Answer 1

分析 （1）電子在勻強電場中做類平拋運動，應(yīng)用類平拋運動的規(guī)律可以求出電子的速度．
（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強度．
（3）根據(jù)電子做圓周運動的周期求出粒子與電子相碰撞的時間，粒子做勻速直線運動，應(yīng)用速度公式可以求出粒子P的速度．

解答 解：（1）電子在電場中做類平拋運動，
水平方向：L=v₀t₁，
豎直方向：v_y=at₁=$\frac{eE}{m}$t₁，
電子離開電場時的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v=$\sqrt{2}$v₀，
速度與x軸方向夾角θ，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
解得：θ=45°；
（2）電子在電場中豎直方向的位移：y=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{eE}{m}$t₁²=$\frac{L}{2}$，
電子從N點進入磁場，電子不能進入x＞2L的區(qū)域，由幾何關(guān)系可知：Rsinθ+R≤L，
電子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{eL}$；
（3）電子在磁場中做勻速圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$，
電子運動軌跡如圖所示，電子軌道半徑：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{e{B}_{0}}$=$\sqrt{2}$L，
電子經(jīng)過x軸的時間：t₂=n$\frac{T}{4}$=$\frac{nπL}{2{v}_{0}}$  （n=1、2、3…）
粒子P與電阻相碰時的位移：x=$\sqrt{2}$nr  （n=1、2、3…），
兩粒子相碰的時間：t=t₁+t₂，
粒子P的速度：v_P=$\frac{x}{t}$，
解得：v_P=$\frac{4n{v}_{0}}{2+nπ}$ （n=1、2、3…）；
答：（1）電子進入磁場區(qū)域時速度v的大小為$\sqrt{2}$v₀，與x軸方向夾45°角；
（2）若使電子不能進入x＞2L的區(qū)域，磁感應(yīng)強度的大小為B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{eL}$；
（3）粒子P的速度為$\frac{4n{v}_{0}}{2+nπ}$ （n=1、2、3…）．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，帶電粒子在復合場中的運動，分別采用不同的處理方法；電子在電場中，關(guān)鍵是將粒子的運動沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運動定律和運動學公式列式分析求解；在磁場中，關(guān)鍵要畫出軌跡圖分析，根據(jù)幾何關(guān)系與牛頓第二定律求解．