Question

2．如圖，在場強大小為E、水平向右的勻強電場中，一輕桿可繞固定轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動．桿的兩端分別固定兩電荷量均為q的小球A、B，A帶正電，B帶負(fù)電；A、B兩球到轉(zhuǎn)軸O的距離分別為2l、l，所受重力大小均為電場力大小的$\sqrt{3}$倍．開始時桿與電場間夾角為θ（90°≤θ≤180°）．將桿從初始位置由靜止釋放，以O(shè)點為重力勢能和電勢能零點．求：
（1）初始狀態(tài)的電勢能W_e；
（2）桿在平衡位置時與電場間的夾角α；
（3）桿在電勢能為零處的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)W=qU 求的初態(tài)的電勢能
（2）根據(jù)力矩關(guān)系即可求得與電場間的夾角α
（3）電勢能為零時，桿處于豎直位置，當(dāng)初始時OA與電場間夾角θ=150°時，A恰能到達(dá)O正上方，在此位置桿的角速度為0，根據(jù)能量守恒即可判斷

解答 解：（1）初始狀態(tài)的電勢能為：W_e=qU₊+（-q）U_-=-3qELcosθ
（2）豎直方向的力矩平衡是兩重力方向都豎直向下但分居異側(cè)，所以等價力矩要相減；
而水平方向兩個電場力方向相反分居異側(cè)要相加；
那么平衡位置時，設(shè)小球質(zhì)量為m，合力矩為：
3qElsinα-mglcosα=0
由此得：$tanα=\frac{mg}{3qE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：α=30°
（3）電勢能為零時，桿處于豎直位置，當(dāng)初始時OA與電場間夾角θ=150°時，A恰能到達(dá)O正上方，在此位置桿的角速度為0，
當(dāng)θ＜150°時，A位移O正下方的電勢能為零，初態(tài)有：W=-3qElcosθ
E_P=-mglsinθ
末態(tài)W′=0     E′_P=-mgl
由能量守恒有：$-3qElcosθ-mglsinθ=\frac{5}{2}m{l}^{2}{ω}^{2}-mgl$
$ω=\sqrt{\frac{2mg（1-sinθ）-6qEcosθ}{5ml}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
當(dāng)θ≥150°時，電勢能為零的位置由兩處，即A位于O點正下方或正上方
在A位移O正下方時$ω=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
在A位于O正上方時$ω=\sqrt{\frac{-2mg（1-sinθ）-6qEcosθ}{5ml}}=\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
答：（1）初始狀態(tài)的電勢能W_e為-3qELcosθ
（2）桿在平衡位置時與電場間的夾角α為30°；
（3）桿在電勢能為零處的角速度ω為$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$或$\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$．

點評 本題主要考查了電勢能和力矩，關(guān)鍵是抓住在任何位置能量守恒即可判斷