Question

9．2015年11月3日，我國自主研發(fā)的火星探測器在第17屆中國國際工業(yè)博覽會上公開亮相，預計2020年前后發(fā)射．設想宇航員完成對火星表面的科學考察后，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，為了安全，返回艙與軌道對接時，必須具有相同的速度．已知返回艙與宇航員的總質(zhì)量為m，火星的半徑為R，軌道艙到火星表面的高度h，火星表面的重力加速度為g，返回艙與宇航員在返回的過程中需克服火星引力做功W=mg$\frac{hR}{R+h}$，不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉(zhuǎn)的影響，求：
（1）軌道艙繞火星運行的速率；
（2）宇航員和返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，萬有引力提供向心力求出軌道艙繞火星運行的速率．
（2）結(jié)合返回艙與軌道艙對接時的動能，以及返回艙返回過程中克服引力做功的大小，根據(jù)能量守恒求出返回艙返回時至少具有的能量．

解答 解：（1）設火星的質(zhì)量為M，返回艙在火星表面附近時，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
設軌道艙的質(zhì)量為m₀，速率為v，則
$G\frac{M{m}_{0}}{（R+h）^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
解得$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）返回艙與軌道艙對接時，應具有的動能為
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
依題意知，返回艙返回過程需克服引力做功W=$mg\frac{hR}{R+h}$，
返回艙返回時至少需要能量為W_總=E_k+W，
解得W_總=E_k+W，
解得W_總=$mgR[1-\frac{R}{2（R+h）}]$．
答：（1）軌道艙繞火星運行的速率為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）宇航員和返回艙至少需要獲得$mgR[1-\frac{R}{2（R+h）}]$的能量才能返回軌道艙．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．