Question

9．2015年11月3日，我國(guó)自主研發(fā)的火星探測(cè)器在第17屆中國(guó)國(guó)際工業(yè)博覽會(huì)上公開(kāi)亮相，預(yù)計(jì)2020年前后發(fā)射．設(shè)想宇航員完成對(duì)火星表面的科學(xué)考察后，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道艙，為了安全，返回艙與軌道對(duì)接時(shí)，必須具有相同的速度．已知返回艙與宇航員的總質(zhì)量為m，火星的半徑為R，軌道艙到火星表面的高度h，火星表面的重力加速度為g，返回艙與宇航員在返回的過(guò)程中需克服火星引力做功W=mg$\frac{hR}{R+h}$，不計(jì)火星表面大氣對(duì)返回艙的阻力和火星自轉(zhuǎn)的影響，求：
（1）軌道艙繞火星運(yùn)行的速率；
（2）宇航員和返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，萬(wàn)有引力提供向心力求出軌道艙繞火星運(yùn)行的速率．
（2）結(jié)合返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)的動(dòng)能，以及返回艙返回過(guò)程中克服引力做功的大小，根據(jù)能量守恒求出返回艙返回時(shí)至少具有的能量．

解答 解：（1）設(shè)火星的質(zhì)量為M，返回艙在火星表面附近時(shí)，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
設(shè)軌道艙的質(zhì)量為m₀，速率為v，則
$G\frac{M{m}_{0}}{（R+h）^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{R+h}$，
解得$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，應(yīng)具有的動(dòng)能為
${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
依題意知，返回艙返回過(guò)程需克服引力做功W=$mg\frac{hR}{R+h}$，
返回艙返回時(shí)至少需要能量為W_總=E_k+W，
解得W_總=E_k+W，
解得W_總=$mgR[1-\frac{R}{2（R+h）}]$．
答：（1）軌道艙繞火星運(yùn)行的速率為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）宇航員和返回艙至少需要獲得$mgR[1-\frac{R}{2（R+h）}]$的能量才能返回軌道艙．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．