Question

17．在如圖所示，坐標(biāo)系xOy第一象限的三角形區(qū)域內(nèi)（坐標(biāo)如圖中所標(biāo)注）有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．將一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子（重力不計(jì)）從P（0，-a）點(diǎn)由靜止釋放．由于x軸上存在一種特殊物質(zhì)，使粒子每經(jīng)過(guò)一次x軸速度大小變?yōu)榇┻^(guò)前的$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過(guò)x軸，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的最小值．
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問(wèn)中B₀的情況下，求粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀．由幾何知識(shí)求出半徑，然后由牛頓第二定律確定磁場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間由牛頓第二定律和速度公式求．畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．兩者之和即為所求時(shí)間．

解答  解：（1）設(shè)粒子到O點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，由動(dòng)能定理得：
qEa=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEa}{m}}$
粒子經(jīng)過(guò)O點(diǎn)后，速度為v₁，則：
v₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$v₀=$\sqrt{\frac{qEa}{m}}$
如圖所示，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡圓與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)，軌跡半徑最大，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B₀．設(shè)粒子軌道半徑為R₁，有：
 R₁=$\sqrt{3}$a tan30°=a
由牛頓第二定律得：qB₀v₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：B₀=$\frac{m{v}_{1}}{q{R}_{1}}$=$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）如圖，粒子經(jīng)O₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域做勻減速運(yùn)動(dòng)，后又加速返回，再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率：v₂=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²v₁=$\frac{1}{2}$v₁，
則粒子在運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{0}}{\frac{qE}{m}}$+2$\frac{{v}_{2}}{\frac{qE}{m}}$=$\sqrt{\frac{2ma}{qE}}$+2$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
此時(shí)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R₂=$\frac{1}{2}{R}_{1}$=$\frac{1}{2}$a
其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，此后不再進(jìn)入磁場(chǎng)．由幾何關(guān)系可知：∠MO₁′O₁=60°，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T₁=T₂=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2π$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{6}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$+$\frac{1}{6}•\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{2}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{\frac{ma}{qE}}$；
則粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=t₁+t₂=（2+$\sqrt{2}$+$\frac{4π}{3}$）$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$
答：（1）欲使粒子能夠再次經(jīng)過(guò)x軸，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀最小是$\sqrt{\frac{mE}{qa}}$；
（2）在磁感應(yīng)強(qiáng)度等于第（1）問(wèn)中B₀的情況下，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（2+$\sqrt{2}$+$\frac{4π}{3}$）$\sqrt{\frac{ma}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是作出臨界軌跡，由幾何知識(shí)求軌跡半徑，根據(jù)動(dòng)力學(xué)方法求電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由圓心角求磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．