Question

20．“水下景觀燈”不僅能在夜晚照亮所在區(qū)域的水域，而且不同的顏色和顏色的變化能使水域和周圍的景物更加豐富多彩，對美化環(huán)境起到非常重要的作用，現(xiàn)在要設計用紅光和綠光照亮水面半徑為r的一個圓形區(qū)域，已知紅光在水中的折射率為n₁，綠光在水中的折射率為n₂，求：
（i）紅光燈應該安裝在水面下多深的位置？
（ii）綠光燈應該安裝在紅光燈上方還是下方？兩燈距離多大？

Answer 1

分析 （i）紅光在水面被照亮區(qū)域的邊緣恰好發(fā)生全反射，畫出光路圖，根據臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和幾何知識結合求解．
（ii）同理，可得到綠光燈距水面的距離，根據綠光的折射率比紅光的大，分析即可．

解答 解：（i）紅光在水下照亮水面的區(qū)域如圖所示，設紅光發(fā)生全反射的臨界角為C．則有：
sinC=$\frac{1}{{n}_{1}}$
設紅光燈距水面距離為h，則由幾何關系得：
sinC=$\frac{r}{\sqrt{{r}^{2}+{h}^{2}}}$
聯(lián)立解得：h=r$\sqrt{{n}_{1}^{2}-1}$
（ii）同理，綠光燈距水面的距離為：h′=r$\sqrt{{n}_{2}^{2}-1}$
由于綠光的折射率比紅光的大，所以綠光燈應該安裝在紅光燈下方，且兩燈距離為：△h=h′-h=r（$\sqrt{{n}_{2}^{2}-1}$-$\sqrt{{n}_{1}^{2}-1}$）
答：（i）紅光燈應該安裝在水面下r$\sqrt{{n}_{1}^{2}-1}$深的位置．
（ii）綠光燈應該安裝在紅光燈下方，兩燈距離是r（$\sqrt{{n}_{2}^{2}-1}$-$\sqrt{{n}_{1}^{2}-1}$）．

點評 本題畫出光路圖是分析和求解的基礎，要培養(yǎng)這方面的基本功．要掌握全反射的條件和臨界角公式．對于這類問題，往往要結合幾何知識研究．