Question

20．我國(guó)自主研發(fā)的首顆高分辨率對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星“高分一號(hào)”，于2013年4月12日由長(zhǎng)征二號(hào)丁運(yùn)載火箭發(fā)射升空，2013年12月正式投入使用，該衛(wèi)星對(duì)地面拍攝的分辨率可達(dá)2米，可對(duì)全球進(jìn)行掃描拍攝，達(dá)到了世界的先進(jìn)水平．設(shè)“高分一號(hào)”衛(wèi)星繞地球的南北兩極做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)地球的張角為120°，如圖所示，衛(wèi)星在A點(diǎn)．已知地面的重力加速度為g，地球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．求
（1）“高分一號(hào)”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為多大？
（2）若要在一天的時(shí)間內(nèi)（用T₀表示）對(duì)地球進(jìn)行全景掃描，且只能在有太陽(yáng)光照的部分進(jìn)行掃描，則它每次掃描的寬度至少多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖示由幾何關(guān)系確定衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和地球表面重力與萬(wàn)有引力相等求得衛(wèi)星運(yùn)行速度；
（2）由地球自轉(zhuǎn)角速度求出衛(wèi)星繞行地球一周的時(shí)間內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)與圓心角的關(guān)系求解．

解答 解：（1）由圖示幾何關(guān)系有，該衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=$\frac{R}{sin\frac{120°}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$
在地球表面重力等于萬(wàn)有引力，有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得GM=gR²
據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得衛(wèi)星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}R}}$=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{gR}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得衛(wèi)星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（\frac{2\sqrt{3}}{3}R）^{3}}{g{R}^{2}}}$
地球自轉(zhuǎn)角速度為ω=$\frac{2π}{{T}_{0}}$                
在衛(wèi)星繞行地球一周的時(shí)間T內(nèi)，地球轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為
θ=ωT=$\frac{2π}{{T}_{0}}$T              ⑤
那么攝像機(jī)轉(zhuǎn)到赤道正上方時(shí)攝下圓周的弧長(zhǎng)為s=θR=$R\frac{2π}{{T}_{0}}T$=$\frac{8{π}^{2}R}{3{T}_{0}}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{g}}$．
答：（1）“高分一號(hào)”衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{gR}$；
（2）若要在一天的時(shí)間內(nèi)（用T₀表示）對(duì)地球進(jìn)行全景掃描，且只能在有太陽(yáng)光照的部分進(jìn)行掃描，則它每次掃描的寬度至少為$\frac{8{π}^{2}R}{3{T}_{0}}\sqrt{\frac{2\sqrt{3}R}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵一是根據(jù)幾何關(guān)系求得衛(wèi)星軌道半徑，二是根據(jù)重力與萬(wàn)有引力相等及萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力分析衛(wèi)星的線速度與周期等物理量．