Question

11．如圖，相距2L的．AB、CD兩邊界間的空間區(qū)域存在兩個(gè)方向相向的
勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中PT以上的電場(chǎng)方向豎直向下，下面的電場(chǎng)方向豎直向上．PQ上連續(xù)分布著電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子，依次以相同水平初速v₀垂直射入PT下方電場(chǎng)中，且有PQ=L．若從Q點(diǎn)射入的粒子恰從M點(diǎn)水平射出，滿足MT=$\frac{L}{2}$，其軌跡如圖．不計(jì)粒子重力及它們間的相互作用．
（1）求PT上、下電場(chǎng)強(qiáng)度E₁與E₀的大小
（2）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過電場(chǎng)后也能從CD邊水平射出，求這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離應(yīng)滿足的條件
（3）若從M點(diǎn)射出的粒子恰從中點(diǎn)S孔垂直射入邊長是α截面為正方形的容器中，容器中存在圖中所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知粒子運(yùn)動(dòng)半徑小于α．為使粒子與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出，粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無能量和電量損失，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由圖可得出粒子在兩電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況；分別沿電場(chǎng)方向和垂直電場(chǎng)方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系，結(jié)合速度公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的關(guān)系，抓住L_PR=2L_RT，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的周期性，找出PT距離在上下電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)水平位移之和的通項(xiàng)表達(dá)式，從而結(jié)合豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離應(yīng)滿足的條件．
（3）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合軌道半徑的通項(xiàng)表達(dá)式，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式．

解答 解：（1）設(shè)粒子在E₀和E₁運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t₁、t₂，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，
根據(jù)   s=$\frac{1}{2}$at²，v=at，F(xiàn)=qE=ma
得   L=$\frac{1}{2}$a₁t${\;}_1^2$=$\frac{1}{2}•\frac{{qE{\;}_0}}{m}t{\;}_1^2$   ①
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}{a_2}t{\;}_2^2$=$\frac{1}{2}•\frac{{qE{\;}_1}}{m}t{\;}_2^2$    ②
v_y=$\frac{{q{E_0}}}{m}{t_1}$=$\frac{{q{E_1}}}{m}{t_2}$     ③
v₀（t₁+t₂）=2L　　　 ④
聯(lián)立以上各式解得     E₁=2E₀
則有        E₀=$\frac{9mv_0^2}{8qL}$，E₁=$\frac{9mv_0^2}{4qL}$
（2）由E₁=2E₀及③式可得t₁=2t₂ 　
則L_PR=2L_RT
設(shè)粒子第一次達(dá)PT直線用時(shí)△t，水平位移為△x，豎直位移為△y，則
△x=v₀△t　     ⑤
$2L=n（△x+\frac{△x}{2}）$（n=1，2，3…）         ⑥
△y=$\frac{1}{2}\frac{{q{E_0}}}{m}（△t）{\;}^2$⑦
由⑤～⑦式聯(lián)立并代入E₀解得     $△y=\frac{L}{n^2}$（n=1，2，3…）
討論：若n為偶數(shù)，粒子從PT下方垂直CD射出電場(chǎng)
若n為奇數(shù)，粒子從PT上方垂直CD射出電場(chǎng)
（3）為使粒子仍能從S孔射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖示意，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁
則　 R₁=$\frac{a}{2（2n+1）}$（ n=0，1，2…） 
又　 qv₀B=$\frac{{mv{\;}_0^2}}{R_1}$
解得      B=$\frac{{2（2n+1）m{v_0}}}{qa}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）PT上、下電場(chǎng)強(qiáng)度E₁與E₀的大小分別為 E₀=$\frac{9mv_0^2}{8qL}$，E₁=$\frac{9mv_0^2}{4qL}$；
（2）這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離應(yīng)滿足的條件為 $△y=\frac{L}{n^2}$（n=1，2，3…）
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件為 B=$\frac{{2（2n+1）m{v_0}}}{qa}$（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在電場(chǎng)中利用幾何關(guān)系得出其沿電場(chǎng)和垂直于電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；而在磁場(chǎng)中也是要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑．