Question

6．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，相距為L(zhǎng)，一理想電流表與兩導(dǎo)軌相連，勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直，一質(zhì)量為2m，電阻為R的金屬桿開始時(shí)被卡環(huán)卡在導(dǎo)軌上處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的絕緣油泥從離桿上高為h處無(wú)初速自由下落，撞到桿上并立刻粘在一起，在油泥落到桿上前瞬間，卡環(huán)被釋放，此后發(fā)現(xiàn)電流表的示數(shù)逐漸增大，直到桿下落H高度時(shí)，示數(shù)開始穩(wěn)定，設(shè)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿與導(dǎo)軌接觸良好，且始終保持水平，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，求：
（1）桿和油泥剛開始一起下落時(shí)的加速度a；
（2）在桿下落H高度的過(guò)程中，感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律知泥塊碰到桿時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)量定理知碰撞后共同速度，對(duì)它們受力分析，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律列式求解加速度；
（2）根據(jù)平衡條件知3mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$解末速度，根據(jù)能量守恒定律知Q=2mgH+mg（H+h）$-\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$-△E．

解答 解：（1）下落h的速度為v₁=$\sqrt{2gh}$
m撞到桿上并立刻粘在一起，后速度為v₂，
根據(jù)動(dòng)量定理知mv₁=（m+2m）v₂
v₂=$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$
因?yàn)榕鲎矒p失的機(jī)械能為△E=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$$•3m{v}_{2}^{2}$=$\frac{2}{3}mgh$
切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電流使導(dǎo)體棒受安培力
F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律知a=$\frac{3mg-F}{3m}$=g-$\frac{F}{3m}$=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{3MR}$=g-$\frac{{\sqrt{2gh}B}^{2}{L}^{2}}{9MR}$
（2）在桿下落H高度，桿開始勻速運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)平衡條件知3mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$①
根據(jù)能量守恒定律知2mgH+mg（H+h）$-\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$=Q+△E②
由①②知Q=3mgH+$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）桿和油泥剛開始一起下落時(shí)的加速度為g-$\frac{{\sqrt{2gh}B}^{2}{L}^{2}}{9MR}$；
（2）在桿下落H高度的過(guò)程中，感應(yīng)電流產(chǎn)生的熱量Q=3mgH+$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理、能量守恒定律在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用，穩(wěn)定時(shí)受力平衡，題目難度適當(dāng)．