Question

6．如圖所示，兩足夠長的光滑金屬導軌豎直放置，相距為L，一理想電流表與兩導軌相連，勻強磁場與導軌平面垂直，一質(zhì)量為2m，電阻為R的金屬桿開始時被卡環(huán)卡在導軌上處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的絕緣油泥從離桿上高為h處無初速自由下落，撞到桿上并立刻粘在一起，在油泥落到桿上前瞬間，卡環(huán)被釋放，此后發(fā)現(xiàn)電流表的示數(shù)逐漸增大，直到桿下落H高度時，示數(shù)開始穩(wěn)定，設上述運動過程中，桿與導軌接觸良好，且始終保持水平，不計導軌的電阻，已知磁感應強度的大小為B，求：
（1）桿和油泥剛開始一起下落時的加速度a；
（2）在桿下落H高度的過程中，感應電流產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運動規(guī)律知泥塊碰到桿時的速度，根據(jù)動量定理知碰撞后共同速度，對它們受力分析，根據(jù)牛頓運動定律列式求解加速度；
（2）根據(jù)平衡條件知3mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$解末速度，根據(jù)能量守恒定律知Q=2mgH+mg（H+h）$-\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$-△E．

解答 解：（1）下落h的速度為v₁=$\sqrt{2gh}$
m撞到桿上并立刻粘在一起，后速度為v₂，
根據(jù)動量定理知mv₁=（m+2m）v₂
v₂=$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$
因為碰撞損失的機械能為△E=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$$•3m{v}_{2}^{2}$=$\frac{2}{3}mgh$
切割磁感線產(chǎn)生的感應電流使導體棒受安培力
F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
根據(jù)牛頓運動定律知a=$\frac{3mg-F}{3m}$=g-$\frac{F}{3m}$=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{3MR}$=g-$\frac{{\sqrt{2gh}B}^{2}{L}^{2}}{9MR}$
（2）在桿下落H高度，桿開始勻速運動，
根據(jù)平衡條件知3mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$①
根據(jù)能量守恒定律知2mgH+mg（H+h）$-\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$=Q+△E②
由①②知Q=3mgH+$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）桿和油泥剛開始一起下落時的加速度為g-$\frac{{\sqrt{2gh}B}^{2}{L}^{2}}{9MR}$；
（2）在桿下落H高度的過程中，感應電流產(chǎn)生的熱量Q=3mgH+$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 此題考查牛頓運動定律、動量定理、能量守恒定律在電磁感應中的應用，穩(wěn)定時受力平衡，題目難度適當．