Question

4．如圖所示，豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xoy把空間分成四個區(qū)域，一絕緣帶孔彈性擋板放置在x軸，其一端與坐標(biāo)系O點(diǎn)重合，擋板上的小孔M距O點(diǎn)距離L₁=9m，在y軸上有N點(diǎn)，N點(diǎn)距O點(diǎn)的距離L₂=3m．空間中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限存在豎直向上的勻強(qiáng)電場．小孔M正上方高h(yuǎn)處有一直徑略小于小孔寬度的帶正電小球（視為質(zhì)點(diǎn)），其質(zhì)量m=1.0×10^-3kg，電荷量q=1.0×10^-3C．某時刻由靜止釋放帶電小球，小球經(jīng)過小孔M后進(jìn)入勻強(qiáng)電場區(qū)域，恰好做勻速直線運(yùn)動．不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²．
（1）求電場強(qiáng)度E的大小；
（2）若在空間中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限再加一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，其他條件不變，由靜止釋放小球，小球通過小孔M后未與擋板碰撞且恰好通過N點(diǎn)，求h值；
（3）保持（2）問中的電場、磁場不變，適當(dāng)改變h值，小球仍由靜止釋放，通過小孔后與擋板發(fā)生碰撞也恰好通過N點(diǎn)（小球與擋板相碰以原速率反彈，碰撞時間不計(jì)，碰撞后電量不變），求h的可能值．

Answer 1

分析 （1）小球勻速運(yùn)動，受力平衡求E
（2）小球通過小孔后未與擋板碰撞，做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，畫出運(yùn)動軌跡，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動學(xué)公式，結(jié)合幾何關(guān)系求出h
（3）小球 小孔后與擋板發(fā)生碰撞，在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，求出各種可能的軌跡，求出半徑、速度，進(jìn)而求出高度．

解答 解：（1）小球進(jìn)入電場后做勻速直線運(yùn)動，受到重力和電場力，由平衡知識可得：
mg=qE…（1）
代入數(shù)值得：
E=10N/C…（2）
（2）小球進(jìn)入復(fù)合場做勻速圓周運(yùn)動，不與擋板相碰，恰好通過N點(diǎn)，小球運(yùn)動軌跡如圖．設(shè)軌道半徑為r，由幾何知識可得

根據(jù)幾何關(guān)系${L}_{1}^{\;}-r=\sqrt{{r}_{\;}^{2}-{L}_{2}^{2}}$…（3）
又洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$      得$r=\frac{mv}{qB}$（4）
進(jìn)入復(fù)合場前做自由落體運(yùn)動：${v}_{\;}^{2}=2gh$…（5）
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得
h=1.25m…（6）
（3）小球進(jìn)入復(fù)合場與擋板相碰．半徑R越小，碰撞次數(shù)越多．設(shè)經(jīng)n次碰撞后小球達(dá)到N點(diǎn)．
小球與擋板碰撞，軌跡的前半部分是半圓：$R≥{L}_{2}^{\;}$…（7）
由幾何關(guān)系：$n•2R≤{L}_{1}^{\;}$…（8）

聯(lián)立得：n≤1.5，取n=1即與擋板碰撞一次…（9）
小球軌跡如甲、乙圖．
對甲圖、乙圖，由幾何知識得
$3{R}_{1}^{\;}={L}_{1}^{\;}$…（10）
$（3{R}_{2}^{\;}-{L}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}+{L}_{2}^{2}={R}_{2}^{2}$…（11）
又洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$     得$R=\frac{mv}{qB}$…（12）
進(jìn)入復(fù)合場前做自由落體運(yùn)動：${v}_{\;}^{2}=2gh$…（13）
解得
h₁=0.45m，h₂=0.70m…（14）
答：（1）求電場強(qiáng)度E的大小10N/C；
（2）若在空間中Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限再加一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，其他條件不變，由靜止釋放小球，小球通過小孔M后未與擋板碰撞且恰好通過N點(diǎn)，h值為1.25m；
（3）保持（2）問中的電場、磁場不變，適當(dāng)改變h值，小球仍由靜止釋放，通過小孔后與擋板發(fā)生碰撞也恰好通過N點(diǎn)（小球與擋板相碰以原速率反彈，碰撞時間不計(jì)，碰撞后電量不變），h的可能值為0.45m、0.70m．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的問題，前兩問較基礎(chǔ)，第三問分析小球在復(fù)合場中的運(yùn)動的可能情況要分析到位，對學(xué)生的能力要求較高．注意小球受到重力、電場力、洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動，必定是洛倫茲力提供向心力，重力和電場力平衡．