14.一質(zhì)量為m,長為L的勻質(zhì)細桿,可繞過其一端光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自有轉(zhuǎn)動,桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺
(1)令λm表示細桿質(zhì)量線密度,當(dāng)桿以角速度ω繞過其一端的光滑水平O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,其轉(zhuǎn)動動能可能表示為Ek=kλαωβLγ
式中,k為待定的沒有單位的純常數(shù),已知在同一單位制下,兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相等時才相等,由此求出α、β和γ的值
(2)已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一起運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系(隨質(zhì)心運動的參考系)中的動能之和,求常數(shù)k的值;
(3)試求當(dāng)桿擺至于水平方向成θ角時在桿上O點為r處的橫截面積兩側(cè)部分的相互作用力,重力加速度大小為g
提示:如果X(t)是t的函數(shù),而Y(X(t))對t的導(dǎo)數(shù)為$\frac{dY(t)}{dt}$=$\frac{dY(X(t))}{dX(t)}$$\frac{dX(t)}{dt}$.

分析 (1)(2)量綱分析是自然科學(xué)中一種重要的研究方法,它根據(jù)一切量所必須具有的形式來分析判斷事物間數(shù)量關(guān)系所遵循的一般規(guī)律.通過量綱分析可以檢查反映物理現(xiàn)象規(guī)律的方程在計量方面是否正確,甚至可提供尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索.
(3)細桿擺到豎直位置過程中,根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒列出等式求解角速度,然后結(jié)合質(zhì)心運動定理、圓周運動的過程中的角速度與線速度的關(guān)系,代入牛頓第二定律即可求解.

解答 解:(1)由題意,轉(zhuǎn)動動能可表示為Ek=kλαωβLγ
式中,k為待定的沒有單位的純常數(shù).
質(zhì)量m的單位是kg,長度l的單位是m,ω的單位是1rad/s=1/s,所以,λ的單位是:kg/s
結(jié)合轉(zhuǎn)動動能Ek的單位是:1J=1N•m=1kg•m2/s2,
聯(lián)立可得:α、β和γ的值分別是α=1;β=2,γ=3.
所以:Ek=kλω2L3    ①
(2)由題意,桿的動能:Ek=Ekc+Ekz
其中:${E}_{kc}=\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}=\frac{1}{2}(λL)•(\frac{L}{2}ω)^{2}$③
注意到,桿的質(zhì)心系中的運動可視為兩根長度為$\frac{L}{2}$的桿過其公共端(即質(zhì)心)的光滑的水平軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,因此桿在質(zhì)心系中的動能Ekz為:
${E}_{kz}=2{E}_{k}(λ,ω,\frac{L}{2})=2kλ{ω}^{2}(\frac{L}{2})^{3}$④
將①③④代入②得:$kλ{ω}^{2}{L}^{3}=\frac{1}{2}λL(\frac{L}{2}•ω)^{2}+2kλ{ω}^{2}(\frac{L}{2})^{3}$
由此解得:k=$\frac{1}{6}$
于是:Ek=$\frac{1}{6}$λω2L3    ⑤
(3)以桿和地球組成的系統(tǒng)為研究的對象,在桿向下運動的過程中機械能守恒,得:${E}_{K}=mg(\frac{L}{2}•sinθ)$   ⑥
比較⑤⑥可得:ω=$\sqrt{\frac{3gsinθ}{L}}$  ⑦
以在桿上距離O點為r處的橫截面積的外側(cè)長為(L-r)的那一段為研究的對象,該段質(zhì)量為λ(L-r),其質(zhì)心的速度為:
${v}_{r}=ω(r+\frac{L-r}{2})=ω(\frac{L+r}{2})$   ⑧
設(shè)另一段對該段的切向的力為T(以θ增大的方向為正方向),法向(即與橫截面積垂直的方向)力為N(以指向O點的方向為正),由質(zhì)心運動定理得:
T+λ(L-r)gcosθ=λ(L-r)•aT;N-λ(L-r)gsinθ=λ(L-r)aN   ⑨
式中,aT為質(zhì)心的切向加速度的大小:${a}_{T}=\frac{d{v}_{r}}{dt}=\frac{L+r}{2}•\frac{dω}{dt}$=$\frac{L+r}{2}•\frac{dω}{dθ}•\frac{dθ}{dt}=\frac{3(L+r)gcosθ}{4L}$
而aN為質(zhì)心法向的加速度的大。${a}_{N}={ω}^{2}•\frac{L+r}{2}=\frac{3(L+r)gsinθ}{2L}$
聯(lián)立以上各式得:$T=\frac{(L-r)(3r-L)}{4{L}^{2}}mgcosθ$;$N=\frac{(L-r)(3r+5L)}{2{L}^{2}}mgsinθ$
答:(1)α、β和γ的值分別是α=1;β=2,γ=3;
(2)已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一起運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系(隨質(zhì)心運動的參考系)中的動能之和,常數(shù)k的值是$\frac{1}{6}$;
(3)當(dāng)桿擺至于水平方向成θ角時在桿上O點為r處的橫截面積兩側(cè)部分的相互作用力分別為:切向力$T=\frac{(L-r)(3r-L)}{4{L}^{2}}mgcosθ$;法向力$N=\frac{(L-r)(3r+5L)}{2{L}^{2}}mgsinθ$

點評 各種物理量之間存在著關(guān)系,說明它們的結(jié)構(gòu)必然由若干統(tǒng)一的基礎(chǔ)成分所組成,并按各成分的多寡形成量與量間的千差萬別,正如世間萬物僅由百余種化學(xué)元素所構(gòu)成.明確兩個系統(tǒng)機械能守恒,單個機械能不守恒.

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A.機器人的運動軌跡是一條直線
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D.整個過程中機器人的位移大小為2$\sqrt{2}$m

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