Question

18．如圖（甲）所示，相距為2L的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，OO′的左側(cè)存在垂直于導(dǎo)軌平面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在OO′左側(cè)L處垂直導(dǎo)軌放軒一質(zhì)量為m、電阻為0.5R的金屬桿ab，ab在恒力的作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)3L的距離，其速度與位移的變化關(guān)系如圖（乙）所示（其中v₁、v₂是已知值）．求：
 
（1）ab在恒力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)3L的過(guò)程通過(guò)電阻R的電荷量q．
（2）ab即將離開磁場(chǎng)時(shí)，加速度的大小a
（3）整個(gè)過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳勢(shì)Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式結(jié)合求出通過(guò)電阻R的電荷量q．
（2）對(duì)金屬桿ab進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，應(yīng)用動(dòng)能定理研究從L到3L的過(guò)程，表示出恒力F．對(duì)金屬桿ab剛要離開磁場(chǎng)時(shí)進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律列出等式求出加速度．
（3）運(yùn)用動(dòng)能定理研究由起始位置到發(fā)生位移L的過(guò)程，求出安培力做功．根據(jù)功能關(guān)系知道克服安培力做功求出電路中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，磁通量的變化量為△Φ=B•2L•L=2BL²；產(chǎn)生的電量q=$\frac{△Φ}{R+0.5R}$=$\frac{4B{L}^{2}}{3R}$；
（2）ab桿在即將離開磁場(chǎng)前瞬間，水平方向上受安培力F_安和外力F作用，ab桿在位移L到3L的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：F（3L-L）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$；
解得：F=$\frac{m（{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}）}{4L}$
ab即將離開磁場(chǎng)時(shí)，安培力大小為 F_安=BI•2L=B•2L•$\frac{B•2L{v}_{1}}{1.5R}$=$\frac{8{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3R}$
設(shè)加速度為a，則 F-F_安=ma
聯(lián)立解得：a=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{4L}$-$\frac{8{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$
（3）ab桿在磁場(chǎng)中發(fā)生L位移過(guò)程中，恒力F做的功等于ab桿增加的動(dòng)能和回路產(chǎn)生的電能，由能量守恒定律得：FL=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
設(shè)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q₁．則
 Q₁=$\frac{R}{R+r}$Q
聯(lián)立解得 Q₁=$\frac{1}{6}m（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{2}）$
答：（1）ab在恒力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)3L的過(guò)程通過(guò)電阻R的電荷量q是$\frac{4B{L}^{2}}{3R}$．
（2）ab即將離開磁場(chǎng)時(shí)，加速度的大小a是$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{4L}$-$\frac{8{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{3mR}$．
（3）整個(gè)過(guò)程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{1}{6}m（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)體切割磁感線中的能量轉(zhuǎn)化規(guī)律；要能夠把法拉第電磁感應(yīng)定律與電路知識(shí)結(jié)合運(yùn)用．電磁感應(yīng)中動(dòng)力學(xué)問(wèn)題離不開受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析．關(guān)于電磁感應(yīng)中能量問(wèn)題我們要從功能關(guān)系角度出發(fā)研究．