Question

12．宇航員在某星球表面以一定初速度v₀豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處，已知該星球的半徑為R，不考慮星球的自轉(zhuǎn)，已知萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求該星球表面附近的重力加速g的大��；
（2）求該星球的質(zhì)量和密度．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由速度時(shí)間公式求出月球表面的重力加速度；
（2）忽略球體自轉(zhuǎn)的影響，萬(wàn)有引力和重力相等求解中心天體的質(zhì)量，再根據(jù)ρ=MV求解天體密度．

解答 解：（1）小球豎直上拋后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，取豎直向上為正方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
-v₀-v₀=gt；
解得：$g=\frac{2{v}_{0}}{t}$
（2）設(shè)某星球的質(zhì)量為M，忽略星體和地球的自轉(zhuǎn)，表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
該星球的密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{'3g}{4GR}$
答：（1）求該星球表面附近的重力加速g的大小為$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）求該星球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$和密度為$\frac{3g}{4GR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，該理論運(yùn)用比較廣泛，所以將GM=gR²稱為“黃金代換式”．