Question

20．如圖所示，質量m_B=3.5kg的物體B通過一輕彈簧固連在地面上，彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m．一輕繩一端與物體B連接，繞過無摩擦的兩個輕質小定滑輪O₁、O₂后，另一端與套在光滑直桿頂端的、質量m_A=1.6kg的小球A連接．已知斜桿固定，桿長L為0.8m，且與水平面的夾角θ=37°．初始時使小球A靜止不動，與A端相連的繩子保持水平，此時繩子中的張力F為45N．已知AO₁=0.5m，g取10m/s²．現(xiàn)將小球A從靜止釋放，則：
（1）在釋放小球A之前彈簧的形變量；
（2）若直線CO₁與桿垂直，求物體A運動到C點的過程中繩子拉力對物體A所做的功；
（3）求小球A運動到底端D點時的速度．

Answer 1

分析 （1）釋放A球前，系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，隔離研究物體B，由平衡條件便可求出彈簧的彈力，進而由胡克定律求得彈簧的形變量．
（2）小球運動到C點的過程中，繩的拉力為變力，應用動能定理求解變力的功，同時考慮A、B、彈簧組成的相互作用的系統(tǒng)機械能守恒．
（3）A球的下降過程，A、B、彈簧組成的相互作用的系統(tǒng)機械能守恒，注意A、B的速度之間的牽連關系，列出機械能守恒的方程可解．

解答 解：（1）釋放小球A前，物體B處于平衡狀態(tài)，則有
kx=F-m_Bg
所以，x=0.1m
故彈簧被拉長了0.1m
（2）小球從桿頂端運動到C點的過程，由動能定理得：
W+m_Agh=$\frac{1}{2}$m_A${v}_{A}^{2}$-0…①
其中，h=CO₁cos37°
又 CO₁=AO₁sin37°=0.3m
物體B下降的高度h′=AO₁-CO₁=0.2m…②
由此可知，此時彈簧被壓縮了0.1m，則彈簧的彈性勢能在初、末狀態(tài)相同．
再以A、B和彈簧為系統(tǒng)，由機械能守恒定律得：
  m_Agh+m_Bgh′=$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$…③
由題意知，小球A運動方向與繩垂直，此瞬間B物體速度 v_B=0…④
由①②③④得，W=m_Bgh′=7J
（3）由題意知，桿長L=0.8m，故∠CDO₁=θ=37°
故DO₁=AO₁，彈簧的伸長量依然為0.1m．，與最初狀態(tài)相比，彈簧的彈性勢能相同，物體B又回到了初始位置，其重力勢能也與最初狀態(tài)相同．
在D點對A的速度進行分解可得：v′_B=v′_Acos37°=0.8v′_A…⑤
由機械能守恒得：m_AgLsin37°=$\frac{1}{2}$${m}_{A}v{′}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$…⑥
聯(lián)立可得小球A運動到桿的底端D點時的速度：v′_A=2m/s
答：
（1）彈簧形變量為0.1m．
（2）繩子拉力對物體A所做的功7J．
（3）小球A運動到底端D點時的速度為2m/s．

點評 涉及彈簧的問題往往要向機械能守恒定律方向考慮，注意一個彈簧的彈性勢能僅僅由其形變量決定，與是拉伸還是壓縮無關；不在同一直線的連接體的運動，要運用運動的分解的辦法解決兩者的速度間的關系，往往將速度沿著繩的方向與垂直于繩的方向分解．