Question

18．如圖所示，AB段是半徑為R=1m，對(duì)應(yīng)圓心角為θ=37°的光滑圓弧軌道，其底端切線水平．BC段是長(zhǎng)為2R的水平軌道，其右端緊靠長(zhǎng)為2R、傾角θ=37°的傳送帶，R的大小均與AB段圓弧軌道半徑相同．在距B點(diǎn)L₀處的水平軌道上靜止一個(gè)質(zhì)量為1kg的物體m，現(xiàn)將質(zhì)量為3kg的物體M以v₀=3.2m/s的初速度自P點(diǎn)水平拋出，恰好切入圓弧軌道上的A點(diǎn)，沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)后與靜止在水平軌道上的質(zhì)量為m的物體發(fā)生彈性碰撞，已知物體M、m與水平軌道及傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.25，水平軌道與傳送帶平滑連接，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）M到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度和通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）L₀取何值時(shí)，M恰好滑到C點(diǎn)；
（3）當(dāng)L₀=0.8R時(shí)，為確保將m送到D點(diǎn)，傳送帶的運(yùn)行速度u應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律與牛頓定律求出壓力；
（2）由動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出L₀；
（3）應(yīng)用動(dòng)能定理求出u需要滿足的條件．

解答 解：（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得
v_Acos37°=v₀，
v_A=4m/s，
A→B過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$M${v}_{A}^{2}$+MgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$M${v}_{B}^{2}$
v_B=$\sqrt{20}$m/s，
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N-Mg=M$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=90N．
（2）設(shè)M與m碰前速度為v₀，動(dòng)能定理得：-μMgL₀=$\frac{1}{2}$Mv²-$\frac{1}{2}$Mv_B²      
v=$\sqrt{20-{5L}_{0}}$
碰撞后M、m的速度分別為v₁和v₂，
規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
Mv=Mv₁+mv₂            
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv²=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²        
v₁=$\frac{v}{2}$，v₂=$\frac{3v}{2}$
碰后，M運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-μMg（2R-L₀）=0-$\frac{1}{2}$Mv₁²           ⑥
聯(lián)立解得：L₀=$\frac{4}{3}$m；
（3）當(dāng)L₀=0.8R，v₂=$\frac{3v}{2}$=6m/s，
碰后m運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：-μmg（2R-L₀）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv₂²   
解得：v_C=$\sqrt{30}$m，
i）若皮帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)的距離為s時(shí)，速度減為零，
由動(dòng)能定理得：-mgssinθ-μmgscosθ=0-$\frac{1}{2}$mv_C²      
解得：s=$\frac{15}{8}$R＜2R，故m不能到達(dá)D點(diǎn)；
ii）若傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，由于μmgcsoθ＜mgsinθ，故m在傳送帶上不可能加速向上運(yùn)動(dòng)．
a）若u＞v_C，m將一直向上勻減運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為零時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離為x，
由動(dòng)能定理得：-mgxsinθ+μmgxcosθ=0-$\frac{1}{2}$mv_C²    
解得：x=3.75R＞2R，一定能將m送到D點(diǎn)．
b）若u＜v_C，它將先相對(duì)傳送帶向上（摩擦力向下）勻減速到u，
然后相對(duì)傳送帶向下（摩擦力向上）勻減速到0．由動(dòng)能定理得：
-mgs₁sinθ-μmgs₁cosθ=$\frac{1}{2}$mu²-mv_C²      ⑨
-mgs₂sinθ+μmgs₂cosθ=0-$\frac{1}{2}$mu²       ⑩
解得：s₁+s₁=2R，解得：u=$\sqrt{2}$m/s，
所以，將m送到D點(diǎn)的條件是傳送帶速度應(yīng)滿足u≥$\sqrt{2}$m/s，方向向上．
答：（1）M到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度和通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是90N；
（2）L₀=$\frac{4}{3}$m，M恰好滑到C點(diǎn)；
（3）當(dāng)L₀=0.8R時(shí)，為確保將m送到D點(diǎn)，傳送帶的運(yùn)行速度應(yīng)滿足u≥$\sqrt{2}$m/s，方向向上．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，難度較大，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理即可正確解題．