Question

14．如圖所示，一傾角為θ=37°的傳送帶兩端緊挨著兩水平平臺(tái)，底端的平臺(tái)粗糙，頂端的平臺(tái)光滑，頂端平臺(tái)上有一輕質(zhì)彈簧，其右端固定在豎直墻上，自由伸長(zhǎng)時(shí)左端剛好在傳送帶的頂端，傳送帶始終以v=1m/s的速率順時(shí)針運(yùn)行，現(xiàn)把裝有貨物的貨箱無(wú)初速度地放在傳送帶的底端，貨箱先加速后勻速運(yùn)動(dòng)到傳送帶頂端的平臺(tái)上，壓縮彈簧至最短時(shí)（在彈性限度內(nèi)），將彈簧鎖定并取下貨物，然后解除鎖定，彈簧將空貨箱彈出，空貨箱沿傳送帶下滑到傳送帶底端的粗糙平臺(tái)上．已知傳送帶兩端的距離為L(zhǎng)=5.0m，空貨箱質(zhì)量為m=2kg，貨物質(zhì)量為M=6kg，貨箱與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.8，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²，貨箱始終沒有離開傳送帶及平臺(tái)．求：
（1）裝有貨物的貨箱向上加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）空貨箱被彈簧彈回傳送帶頂端時(shí)的速度大��；
（3）從貨箱開始向上運(yùn)動(dòng)到返回到傳送帶底端的過程中，因與傳送帶摩擦而產(chǎn)生的熱能為多少．

Answer 1

分析 （1）首先由牛頓第二定律求得加速度，然后根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的速度規(guī)律取得加速時(shí)間；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得壓縮彈簧至最短時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能，然后再次利用機(jī)械能守恒定律即可求得速度；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求得向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的相對(duì)位移，即可求得摩擦產(chǎn)熱．

解答 解：（1）貨箱向上加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)裝貨的貨箱由牛頓第二定律有：μ（M+m）gcos37°-（M+m）gsin37°=（M+m）a
解得a=（μcos37°-sin37°）g=0.4m/s²；
那么，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式可得：裝有貨物的貨箱向上加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{v}{a}=2.5s$；
（2）從裝貨貨箱與彈簧接觸到貨箱速度為零過程只有彈簧彈力做功，故機(jī)械能守恒，則有：${E}_{p}=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=4J$；
從空貨箱速度為零到離開彈簧過程只有彈簧彈力做功，故機(jī)械能守恒，則有：${E}_{p}=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
所以空貨箱被彈簧彈回傳送帶頂端時(shí)的速度大小為：$v′=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}}=2m/s$；
（3）裝貨貨箱加速階段在傳送帶上相對(duì)滑動(dòng)的位移：$△s=v{t}_{1}-\frac{1}{2}v{t}_{1}=1.25m$
摩擦力為：f=μ（M+m）gcos37°=51.2N
故貨箱向上運(yùn)動(dòng)時(shí)與傳送帶的相對(duì)位移為：△s=1.25m，
那么，摩擦產(chǎn)熱為：Q₁=f△s=64J；
由分析可知空貨箱減速下滑的加速度為：a′=a=0.4m/s²；
設(shè)空貨箱下滑的時(shí)間為t₂，那么由運(yùn)動(dòng)公式$L=v′{t}_{2}-\frac{1}{2}a′t{′}^{2}$可得：t₂=5s；
所以空貨箱下滑過程在傳送帶上相對(duì)滑動(dòng)的位移為：△s₂=vt₂+L=10m
摩擦力為：f′=μmgcos37°=12.8N
那么下滑時(shí)摩擦產(chǎn)熱為：Q₂=f′△s₂=128J；
所以，全過程因摩擦而產(chǎn)生的熱能為：Q=Q₁+Q₂=192J；
答：（1）裝有貨物的貨箱向上加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2.5s；
（2）空貨箱被彈簧彈回傳送帶頂端時(shí)的速度大小為2m/s；
（3）從貨箱開始向上運(yùn)動(dòng)到返回到傳送帶底端的過程中，因與傳送帶摩擦而產(chǎn)生的熱能為192J．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．