Question

15．如圖所示，兩個物體以相同大小的初始速度從空中O點同時分別向x軸正負(fù)方向水平拋出，它們的軌跡恰好是拋物線方程y=$\frac{1}{k}$x²，重力加速度為g，那么以下說法正確的是（曲率半徑可認(rèn)為等于曲線上該點的瞬時速度所對應(yīng)的勻速率圓周運動的半徑）（　�。�

• A． 初始速度為$\sqrt{\frac{kg}{4}}$
• B． 初始速度為$\sqrt{2kg}$
• C． O點的曲率半徑為$\frac{1}{2}$k
• D． O點的曲率半徑為2k

Answer 1

分析 據(jù)題兩球均做平拋運動，水平方向的分運動是勻速直線運動，豎直方向上的分運動是自由落體運動，得到水平位移大小x和豎直位移大小y與時間的關(guān)系，代入拋物線方程，即可求得初速度；根據(jù)數(shù)學(xué)知識求解O點的曲率半徑．

解答 解：A、B、設(shè)小球平拋運動的時間為t，則有：
x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
代入到拋物線方程 y=$\frac{1}{k}{x}^{2}$，解得初速度為：v₀=$\sqrt{\frac{kg}{2}}$．故A錯誤，B錯誤．
C、D、拋物線方程y=$\frac{1}{k}{x}^{2}$，求導(dǎo)得：y′=$\frac{2}{k}x$=k′x．
根據(jù)數(shù)學(xué)知識得知，O點的曲率半徑為：R=$\frac{1}{k′}$=$\frac{k}{2}$．故C正確，D錯誤．
故選：C．

點評 本題運用數(shù)學(xué)上參數(shù)方程的方法求解初速度，關(guān)鍵是抓住平拋運動的分解方法．根據(jù)曲率半徑的定義，由數(shù)學(xué)知識求解．