Question

12．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限內(nèi)存在著等大反向的另一勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN、EF為電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線，一電荷量為-q、質(zhì)量為m的小球從y軸上的P點(diǎn)以速度v₀垂直進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入電、磁復(fù)合場(chǎng)，已知OP=OM=d，OQ=$\frac{3}{2}$d，OF=2Od，v₀=$\frac{3}{2}$$\sqrt{gd}$．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和小球經(jīng)過(guò)Q的速度．
（2）要使小球不越過(guò)邊界MN，求所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．
（3）若所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′=$\frac{2m}{qd}$$\sqrt{gd}$，小球經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間能從右邊界射出．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限的電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，求出小球受到的電場(chǎng)力的大小以及小球經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速度；由E=$\frac{F}{q}$求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子的軌道半徑；洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）求出小球周期性運(yùn)動(dòng)的周期，然后求出粒子在一個(gè)周期內(nèi)沿x軸方向的位移，再求出小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）小球在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：$\frac{3}{2}$d=v₀t，
小球在電場(chǎng)線方向的位移：
d=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{mg+qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，
小球到達(dá)Q時(shí)，豎直向下的速度為v_y，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：v_y²-0=2×2g×d，
小球的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，解得：v=2.5$\sqrt{gd}$，
小球速度與x軸的夾角：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{gd}}{\frac{3}{2}\sqrt{gd}}$=$\frac{4}{3}$，解得：θ=53°；
（2）小球在第四象限受到的電場(chǎng)力F=qE=mg，方向向上，所以小球受到的合力等于洛倫茲力，
所以小球在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使小球不越過(guò)邊界MN，運(yùn)動(dòng)的臨界軌跡如圖所示，
由數(shù)學(xué)知識(shí)可得：r-rsin37°=d，解得：r=2.5d，
由牛頓第二定律得：qBv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m\sqrt{gd}}{qd}$；
（3）當(dāng)B′=$\frac{2m\sqrt{gd}}{qd}$時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：R=$\frac{5d}{4}$，
小球做周期性運(yùn)動(dòng)的周期：T=2$\sqrt{\fracexyb9ps{g}}$+$\frac{2×53°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB′}$=（2+$\frac{53π}{180}$）$\sqrt{\fracwfl5cas{g}}$，
每個(gè)周期小球沿x軸方向的位移：x=2（v₀t+R′sin53°），解得：x=5d，
經(jīng)過(guò)4個(gè)周期小球從右邊界射出，
時(shí)間：t=4T=（8+$\frac{53π}{180}$）$\sqrt{\fraccxg9oru{g}}$；
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為：$\frac{mg}{q}$，小球經(jīng)過(guò)Q的速度大小為2.5$\sqrt{gd}$．
（2）要使小球不越過(guò)邊界MN，所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為=$\frac{m\sqrt{gd}}{qd}$．
（3）若所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′=$\frac{2m}{qd}$$\sqrt{gd}$，小球經(jīng)時(shí)間：（8+$\frac{53π}{180}$）$\sqrt{\frac0adr0ks{g}}$能從右邊界射出．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑、粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，是本題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．