Question

1．“探路者”號(hào)宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆均勻球形天體，兩天體各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，測得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷正確的是（　�。�

• A． 天體A、B的質(zhì)量與它們的半徑成正比
• B． 兩顆衛(wèi)星的線速度與它們的半徑成正比
• C． 天體A、B表面的重力加速度一定相等
• D． 天體A、B的密度一定相等

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞球形天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得出天體的質(zhì)量與衛(wèi)星周期的關(guān)系式，再得出天體密度與周期的關(guān)系式，然后進(jìn)行比較

解答 解：根據(jù)題意，兩天體A、B各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
天體A、B的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，因?yàn)閮深w衛(wèi)星的周期相等，故天體A、B的密度一定相等；
A、天體的質(zhì)量$M=ρ•\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，故天體A、B的質(zhì)量與半徑的三次方成正比，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{Gρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{R}}=\sqrt{\frac{4Gρπ}{3}}R$，即兩顆衛(wèi)星的線速度與半徑成正比，故B正確；
C、根據(jù)重力等于萬有引力有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{Gρ•\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4Gρπ}{3}R$，半徑大的天體表面的重力加速度大，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$及$ρ=\frac{M}{V}$，其中$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，聯(lián)立解得$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星繞天體運(yùn)動(dòng)的問題，要建立好物理模型，根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力列式．要熟練應(yīng)用萬有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合處理這類問題．