Question

10．在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成圖示形狀，相應(yīng)的曲線方程為y=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）（單位：m），式中k=1m^-1．將一光滑小環(huán)套在該金屬桿上，并從x=0處以v₀=5m/s的初速度沿桿向下運(yùn)動(dòng)，取重力加速度g=10m/s²，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 小環(huán)沿金屬桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
• B． 小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=$\frac{π}{3}$時(shí)的速度大小是5m/s
• C． 小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=$\frac{π}{2}$m時(shí)的速度大小是5m/s
• D． 該小環(huán)在x軸方向最遠(yuǎn)能運(yùn)動(dòng)到x=$\frac{5}{6}π$m處

Answer 1

分析 環(huán)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)曲線方程可以確定環(huán)的位置，即環(huán)的高度的大小，再根據(jù)機(jī)械能守恒可以求得環(huán)的速度的大�。�根據(jù)機(jī)械能守恒可求出球達(dá)到最遠(yuǎn)處時(shí)的高度h，然后根據(jù)h=y₁-y₂求出y，代入曲線方程即可求出最遠(yuǎn)處的x．

解答 解：A、金屬桿光滑，小環(huán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，小球與地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A正確；
B、由曲線方程知，環(huán)在x=0處時(shí)y₁=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{2.5}{2}$m=-1.25m；在x=$\frac{π}{3}$時(shí)，y₂=-2.5m
設(shè)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=$\frac{π}{3}$時(shí)的速度大小是v．選y=0處為零勢(shì)能參考平面，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²+mgy₁=$\frac{1}{2}$mv²+mgy₂，解得：v＞5m/s，故B錯(cuò)誤．
C、設(shè)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=$\frac{π}{2}$m時(shí)的速度大小為v′．當(dāng)x=$\frac{π}{2}$m時(shí)，y₃=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$m．
選y=0處為零勢(shì)能參考平面，由機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²+mgy₁=$\frac{1}{2}$mv²+mgy₃，解得：v′=5$\root{4}{3}$m/s，故C錯(cuò)誤．
D、由機(jī)械能守恒定律可知：mg△h=$\frac{1}{2}$mv₀²得：△h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{5}^{2}}{20}$m=1.25m，即知小球上升到最高點(diǎn)時(shí)縱坐標(biāo)y=0，將y=0代入：y=2.5cos（kx+$\frac{2π}{3}$）m，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知x=x=$\frac{5}{6}π$m，故D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 本題和數(shù)學(xué)的上的方程結(jié)合起來(lái)，根據(jù)數(shù)學(xué)方程來(lái)確定物體的位置，從而利用機(jī)械能守恒來(lái)解題．