Question

14．在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直圓面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．圓邊上的P處有一粒子源，不沿垂直于磁場(chǎng)的各個(gè)方向，向磁場(chǎng)區(qū)發(fā)射速率均為v₀的同種粒子，如圖所示．現(xiàn)測(cè)得：當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁時(shí)，粒子均從由P點(diǎn)開始弧長(zhǎng)為$\frac{1}{2}πR$的圓周范圍內(nèi)射出磁場(chǎng)；當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂時(shí)，粒子則都從由P點(diǎn)開始弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}πR$的圓周范圍內(nèi)射出磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力，則（　　）

• A． 前后兩次粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑比為r₁：r₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• B． 前后兩次粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑比為r₁：r₂=2：3
• C． 前后兩次磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小之比為B₁：B₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． 前后兩次磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小之比為B₁：B₂=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁時(shí)，粒子均從由P點(diǎn)開始弧長(zhǎng)為$\frac{1}{2}πR$的圓周范圍內(nèi)射出磁場(chǎng)，即有圓周上有$\frac{1}{4}$圓弧范圍上有粒子射出，找到臨界幾何條件：即距P點(diǎn)$\frac{1}{4}$圓弧的位置恰好有粒子射出，再與洛倫茲力提供向心力聯(lián)立即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁和半徑r₁；
同理，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂時(shí)，粒子則都從由P點(diǎn)開始弧長(zhǎng)為$\frac{2}{3}πR$的圓周范圍內(nèi)射出磁場(chǎng)，即有圓周上有$\frac{1}{3}$圓弧的范圍上有粒子射出，找到臨界幾何條件：即距P點(diǎn)$\frac{1}{3}$圓弧的位置恰好有粒子射出，再與洛倫茲力提供向心力聯(lián)立即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂和半徑r₂；

解答 解：當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁時(shí)，粒子半徑為r₁，粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$…①
根據(jù)幾何關(guān)系有：r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$…②
聯(lián)立①②式子可得：B₁=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$…③
當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂時(shí)，粒子半徑為r₂，粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖所示，

根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$…④
根據(jù)幾何關(guān)系有：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$…⑤
聯(lián)立④⑤式子可得：B₂=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qR}$…⑥
由②⑤式可得：前后兩次粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑比為r₁：r₂=$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，故A正確，B錯(cuò)誤；
由③⑥式可得：前后兩次磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小之比為B₁：B₂=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要畫出各個(gè)方向入射的粒子軌跡過程圖，找到臨界幾何條件，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑和磁感應(yīng)強(qiáng)度；本題為定圓的旋轉(zhuǎn)模型，可以找一枚硬幣，繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)觀察從圓形磁場(chǎng)區(qū)域出射的范圍，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高難度較大．