Question

16．過山車是游樂場中常見的設施．如圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的兩個圓形軌道組成，B、C、分別是圓形軌道的最低點，B、C間距是L，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個質量為m=1.0kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以v₀=12.0m的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設水平軌道足夠長，重力加速度取g=10m/s²，計算結果保留小數點后一位數字．試求

（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應是多少；
（3）小球最后在水平面上停下來時由于摩擦產生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）小球以一定速度經過粗糙水平軌道后，再滑上豎直的光滑圓軌道，通過動能定理可求出小球在第一個圓形軌道的最高點的速度；由牛頓第二定律可算出軌道對小球的作用力．
（2）由小球恰能通過第二個圓形軌道，則由牛頓第二定律可求出最高點的速度大小，再由動能定理可求出B、C間距；
（3）根據能量守恒知由于摩擦產生的熱量．

解答 解：（1）設小球經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁，由動能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀² ，
代入數據解得：v₁=2$\sqrt{10}$m/s；
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，由牛頓第二定律得：
F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
代入數據解得：F=10.0N…③
（2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，小球恰能通過第二圓形軌道，在最高點，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數據解得：L=12.5m；
（3）根據能量守恒知小球最后在水平面上停下來時由于摩擦產生的熱量為：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×1{2}^{2}$=72J
答：（1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小為10N；   
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應是12.5m；
（3）在水平面上停下來時由于摩擦產生的熱量為72J．

點評 選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優(yōu)點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．