Question

12．一列簡(jiǎn)諧橫波在介質(zhì)中沿x軸正向傳播，波長(zhǎng)不小于10 cm．O和A是介質(zhì)中平衡位置分別位于x=0和x=5 cm處的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)．t=0時(shí)開(kāi)始觀測(cè)，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)O的位移為y=4 cm，質(zhì)點(diǎn)A處于波峰位置：t=$\frac{1}{3}$s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)O第一次回到平衡位置，t=1 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)A第一次回到平衡位置．求
（i）簡(jiǎn)諧波的周期、波速和波長(zhǎng)；
（ii）質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （i）設(shè)振動(dòng)周期為T．由于質(zhì)點(diǎn)A在0到1 s內(nèi)由最大位移處第一次回到平衡位置，經(jīng)歷的是$\frac{1}{4}$個(gè)周期，由此可知周期T．
由于質(zhì)點(diǎn)O與A的距離5 m小于半個(gè)波長(zhǎng)，且波沿x軸正向傳播，O在t=1/3時(shí)回到平衡位置，而A在t=1 s時(shí)回到平衡位置，時(shí)間相差（2/3）s．兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的距離除以傳播時(shí)間，可得波的速度v，利用波長(zhǎng)、波速和周期的關(guān)系得，簡(jiǎn)諧波的波長(zhǎng)λ．

解答 解：（i）設(shè)振動(dòng)周期為T．由于質(zhì)點(diǎn)A在0到1 s內(nèi)由最大位移處第一次回到平衡位置，經(jīng)歷的是$\frac{1}{4}$個(gè)周期，由此可知T=4 s；由于質(zhì)點(diǎn)O與A的距離5 m小于半個(gè)波長(zhǎng)，且波沿x軸正向傳播，O在t=$\frac{1}{3}$s時(shí)回到平衡位置，而A在t=1 s時(shí)回到平衡位置，時(shí)間相差（$\frac{2}{3}$）s．兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的距離除以傳播時(shí)間，可得波的速度$v=\frac{x}{t}=\frac{5m}{\frac{2}{3}s}=7.5m/s$；
利用波長(zhǎng)、波速和周期的關(guān)系得，簡(jiǎn)諧波的波長(zhǎng)λ=vT=7.5×4m=30m．
（ii）設(shè)質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為$y=Acos（\frac{2π}{T}t+φ）$，將（i）中的解及題中的條件代入上式得，
4=Acosφ，$0=Acos（\frac{π}{6}+φ）$，聯(lián)立以上兩式得，$φ=\frac{π}{3}$，A=8cm．
所以質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為：$y=0.08cos（\frac{π}{2}t+\frac{π}{3}）$（國(guó)際單位制）
答：（i）簡(jiǎn)諧波的周期為4s、波速為7.5m/s，波長(zhǎng)為30m；
（ii）質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式$y=0.0.8cos（\frac{π}{2}t+\frac{π}{3}）$（國(guó)際單位制）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橫波的圖象和質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象問(wèn)題．利用波長(zhǎng)、波速和周期的關(guān)系并結(jié)合圖象可求解第一問(wèn)，第二問(wèn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)O的位移隨時(shí)間的變化關(guān)系的解析式，代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解．