Question

8．如圖所示，是一種電子擴(kuò)束裝置的原理示意圖．直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O處有一電子發(fā)射裝置，可以不斷朝xOy平面內(nèi)x≥0區(qū)域任意方向發(fā)射電子，電子的速率均為v₀，已知電子的電荷量為e、質(zhì)量為m．在0≤x≤d的區(qū)域內(nèi)分布著沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{3mv_0^2}{2ed}$，在x＞d區(qū)域內(nèi)分布著足夠大且垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{{4m{v_0}}}{ed}$，ab為一塊很大的平面感光板，在磁場(chǎng)內(nèi)平行于y軸放置，電子打到板上后會(huì)在板上形成一條亮線(xiàn)．不計(jì)電子的重力和電子之間的相互作用．求：
（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大�。�
（2）當(dāng)感光板沿x軸方向移到某一位置時(shí)恰好沒(méi)有電子打到板上，求板ab到y(tǒng)軸的距離x₁；
（3）保持（2）中感光板位置不動(dòng)，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使所有電子都能打到感光板上，試計(jì)算此時(shí)最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小以及電子打到板上形成亮線(xiàn)的長(zhǎng)度L．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功都相同，為eEd，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小，即得到電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小；
（2）電子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．對(duì)于沿y軸負(fù)方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，不能打到ab板上，則所有電子均不能打到ab板上．當(dāng)此電子軌跡與ab板相切時(shí)，畫(huà)出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識(shí)求出感光板到y(tǒng)軸的距離x₁．
（3）沿y軸正方向射出的電子若能打到ab板上，則所有電子均能打到板上．此電子軌跡恰好與ab板相切，畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�電子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)中沿y軸方向的位移，由幾何關(guān)系求出電子打到板上形成亮線(xiàn)的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）電場(chǎng)力對(duì)電子做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$e•Ed=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$…①
解得：v=2v₀ …②
（2）由題意結(jié)合左手定則可以判定：若沿y軸負(fù)方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡與ab板相切不能打到ab板上時(shí)，則所有電子均不能打到ab板上，作出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
電子在電場(chǎng)中作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)該電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與豎直方向的夾角為θ，有：vcosθ=v₀ …③
解得：cosθ=0.5 
電子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)半徑為r，有：$evB=m\frac{v^2}{r}$…④
由圖中幾何關(guān)系：x₁=r（1+cosθ）+d…⑤
聯(lián)解②③④⑤得：${x_1}=\frac{7}{4}d$…⑥
（3）由題意結(jié)合左手定則可以判定：若沿y軸正方向射出的電子進(jìn)入磁場(chǎng)后軌跡恰好與ab板相切，則所有電子均能打到板上，作出其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．
由圖中幾何關(guān)系有：x₁=d+r'（1-cosθ）…⑦
另有：$evB'=m\frac{v^2}{r'}$…⑧
聯(lián)解②③⑥⑦⑧得：$B'=\frac{{4m{v_0}}}{3ed}$…⑨
沿y軸正、負(fù)方向發(fā)射的電子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)沿y軸的偏轉(zhuǎn)量為y₁，則：$d=\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t^2}$…⑩
y₁=v₀t⑪
設(shè)沿y軸正方向發(fā)射的電子打到感光板上時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)沿y軸的偏轉(zhuǎn)量為y₂，沿y軸負(fù)方向發(fā)射的電子打到感光板上時(shí)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)沿y軸的偏轉(zhuǎn)量為y₃，由圖中幾何關(guān)系得：y₂=r′sinθ…⑫
y₃=r′（1-sinθ）…⑬
電子打到板上形成亮線(xiàn)的長(zhǎng)度：L=2y₁+y₂+y₃…⑭
聯(lián)解⑩⑪⑫⑬⑭得：$L=（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}+\frac{3}{2}）d$…⑮
答：（1）電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小為2v₀
（2）板ab到y(tǒng)軸的距離為$\frac{7}{4}d$；
（3）最小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的大小為$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$，電子打到板上形成亮線(xiàn)的長(zhǎng)度L為$（\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{2}）d$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)和磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，關(guān)鍵是分析臨界情況，當(dāng)電子剛好不能打到ab板上時(shí)，其軌跡恰好與ab板相切，這是經(jīng)常用到的臨界條件，再由幾何關(guān)系求出亮線(xiàn)的長(zhǎng)度．