Question

8．如圖所示，是一種電子擴束裝置的原理示意圖．直角坐標系原點O處有一電子發(fā)射裝置，可以不斷朝xOy平面內(nèi)x≥0區(qū)域任意方向發(fā)射電子，電子的速率均為v₀，已知電子的電荷量為e、質(zhì)量為m．在0≤x≤d的區(qū)域內(nèi)分布著沿x軸負方向的勻強電場，場強大小E=$\frac{3mv_0^2}{2ed}$，在x＞d區(qū)域內(nèi)分布著足夠大且垂直于xOy平面向外的勻強磁場，勻強磁場的磁感應強度B=$\frac{{4m{v_0}}}{ed}$，ab為一塊很大的平面感光板，在磁場內(nèi)平行于y軸放置，電子打到板上后會在板上形成一條亮線．不計電子的重力和電子之間的相互作用．求：
（1）電子進入磁場時速度v的大��；
（2）當感光板沿x軸方向移到某一位置時恰好沒有電子打到板上，求板ab到y(tǒng)軸的距離x₁；
（3）保持（2）中感光板位置不動，改變磁感應強度的大小，使所有電子都能打到感光板上，試計算此時最小的磁感應強度B′的大小以及電子打到板上形成亮線的長度L．

Answer 1

分析 （1）電子在電場中運動時，電場力做功都相同，為eEd，根據(jù)動能定理求出電子離開電場時的速度大小，即得到電子進入磁場時速度的大小；
（2）電子進入磁場后由洛倫茲力充當向心力做勻速圓周運動．對于沿y軸負方向射出的電子進入磁場時，不能打到ab板上，則所有電子均不能打到ab板上．當此電子軌跡與ab板相切時，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何知識求出感光板到y(tǒng)軸的距離x₁．
（3）沿y軸正方向射出的電子若能打到ab板上，則所有電子均能打到板上．此電子軌跡恰好與ab板相切，畫出軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應強度的大�。�電子在電場中做類平拋運動，由牛頓第二定律和運動學公式求出電場中沿y軸方向的位移，由幾何關(guān)系求出電子打到板上形成亮線的長度．

解答 解：（1）電場力對電子做功，根據(jù)動能定理有：
$e•Ed=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$…①
解得：v=2v₀ …②
（2）由題意結(jié)合左手定則可以判定：若沿y軸負方向射出的電子進入磁場后軌跡與ab板相切不能打到ab板上時，則所有電子均不能打到ab板上，作出其運動軌跡如圖所示．
電子在電場中作類平拋運動，設(shè)該電子進入磁場時與豎直方向的夾角為θ，有：vcosθ=v₀ …③
解得：cosθ=0.5 
電子在洛倫茲力作用下做圓周運動，設(shè)其運動半徑為r，有：$evB=m\frac{v^2}{r}$…④
由圖中幾何關(guān)系：x₁=r（1+cosθ）+d…⑤
聯(lián)解②③④⑤得：${x_1}=\frac{7}{4}d$…⑥
（3）由題意結(jié)合左手定則可以判定：若沿y軸正方向射出的電子進入磁場后軌跡恰好與ab板相切，則所有電子均能打到板上，作出其運動軌跡如圖所示．
由圖中幾何關(guān)系有：x₁=d+r'（1-cosθ）…⑦
另有：$evB'=m\frac{v^2}{r'}$…⑧
聯(lián)解②③⑥⑦⑧得：$B'=\frac{{4m{v_0}}}{3ed}$…⑨
沿y軸正、負方向發(fā)射的電子在電場中做類平拋運動，設(shè)沿y軸的偏轉(zhuǎn)量為y₁，則：$d=\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t^2}$…⑩
y₁=v₀t⑪
設(shè)沿y軸正方向發(fā)射的電子打到感光板上時在磁場中運動沿y軸的偏轉(zhuǎn)量為y₂，沿y軸負方向發(fā)射的電子打到感光板上時在磁場中運動沿y軸的偏轉(zhuǎn)量為y₃，由圖中幾何關(guān)系得：y₂=r′sinθ…⑫
y₃=r′（1-sinθ）…⑬
電子打到板上形成亮線的長度：L=2y₁+y₂+y₃…⑭
聯(lián)解⑩⑪⑫⑬⑭得：$L=（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}+\frac{3}{2}）d$…⑮
答：（1）電子進入磁場時速度v的大小為2v₀
（2）板ab到y(tǒng)軸的距離為$\frac{7}{4}d$；
（3）最小的磁感應強度B′的大小為$\frac{4m{v}_{0}}{3ed}$，電子打到板上形成亮線的長度L為$（\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{2}）d$．

點評 本題是電場中偏轉(zhuǎn)和磁場中圓周運動的綜合，關(guān)鍵是分析臨界情況，當電子剛好不能打到ab板上時，其軌跡恰好與ab板相切，這是經(jīng)常用到的臨界條件，再由幾何關(guān)系求出亮線的長度．