Question

15．某星球的質(zhì)量為地球質(zhì)量的$\frac{1}{8}$，半徑為地球半徑的一半，已知地球的第一宇宙速度為7.9km/s，地球表面的重力加速度g=10m/s²，忽略星球自轉(zhuǎn)，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的第一宇宙速度是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球和星球的質(zhì)量關(guān)系、半徑關(guān)系求出星球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合質(zhì)量、半徑關(guān)系求出星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）（忽略自轉(zhuǎn)）由萬有引力等于重力可得：
地球表面的物體有：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$----①
該星球表面的物體有：$m{g^'}=G\frac{{{M^'}m}}{{{R^{'2}}}}$----②
由①②代入數(shù)據(jù)解得${g^'}=\frac{g}{2}=5m/{s^2}$
（2）第一宇宙速度即近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，由萬有引力提供衛(wèi)星環(huán)繞的向心力
所以$m\frac{{{v^'}_1^2}}{R}=G\frac{{{M^'}m}}{{{R^'}^2}}$----③
又因為地球第一宇宙速度${v_1}=\sqrt{gR}=7.9km/s$----④
由③④代入數(shù)據(jù)解得$v_1^'=\sqrt{\frac{{G{M^'}}}{R^'}}=\sqrt{{g^'}{R^'}}=\frac{v_1}{2}=3.95km/s$．
答：（1）該星球表面的重力加速度為5m/s²；
（2）該星球的第一宇宙速度是3.95km/s．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．