Question

6． 一個(gè)質(zhì)量m=0.20kg的小球系于輕質(zhì)彈簧的一端，且套在光滑豎立的圓環(huán)上的B點(diǎn)，彈簧的上端固定于環(huán)的最高點(diǎn)A，環(huán)的半徑R=0.50m，彈簧的原長(zhǎng)l₀=0.50m，勁度系數(shù)為4.8N/m，如圖所示．若小球從圖中所示位置B點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑到最低點(diǎn)C時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_P=0.6J．取g=l0m/s²，求：
（1）小球到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c的大�。�
（2）小球在C點(diǎn)時(shí)環(huán)對(duì)它的作用力大小和方向．
（3）若把該裝置放在光滑水平面上，其他條件不邊，v_C的大小也不變，需對(duì)小球做多少功？

Answer 1

分析 （1）小球在下降中小球的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能，由小球與彈簧機(jī)械能守恒可求得小球到C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小球在最低點(diǎn)C時(shí)，由合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律和第三定律結(jié)合可得出小球在C點(diǎn)對(duì)環(huán)的作用力．
（3）根據(jù)功能關(guān)系求外力對(duì)小球做的功．

解答 解：（1）在B點(diǎn)時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，彈性勢(shì)能為0．小球由B點(diǎn)滑到C點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
mg（R+Rcos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+E_P
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=3m/s
（2）在C點(diǎn)：彈簧的彈力大小為 F_彈=（2R-l₀）k=2.4N，方向豎直向上
設(shè)環(huán)對(duì)小球作用力為N，方向指向圓心，由牛頓第二定律得：
F+N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=3.2N，方向豎直向上
由牛頓第三定律知，小球?qū)Νh(huán)作用力大小為：N′=N=3.2N，方向豎直向下．
（3）根據(jù)功能原理可得：W=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+E_P．
由第1 題可得：W=mg（R+Rcos60°）=0.2×10×0.5（1+0.5）J=1.5J
答：
（1）小球到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c的大小3m/s；
（2）小球在C點(diǎn)對(duì)環(huán)的作用力3.2N，方向豎直向下．
（3）需對(duì)小球做1.5J的功．

點(diǎn)評(píng) 解第1題時(shí)，要注意我們研究的系統(tǒng)是小球與彈簧而不是小球，小球與彈簧組成的系統(tǒng)是機(jī)械能守恒，而只對(duì)小球來(lái)說(shuō)，機(jī)械能是不定恒的．