Question

12．如圖所示，光滑圓桿MN段豎直，OC段水平且與MN相接于O點(diǎn)，兩桿分別套有質(zhì)量為m的環(huán)A和2m的環(huán)B，兩環(huán)的內(nèi)徑比桿的直徑稍大，A、B用長為2L的輕繩連接，A、O用長為L的輕繩連接，現(xiàn)讓裝置繞豎直桿MN做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{2g}{L}}$時，OA段繩剛好要斷，AB段繩能承受的拉力足夠大，求：
（1）OA段繩剛剛拉直時轉(zhuǎn)動的角速度多大；
（2）OA段繩能承受的最大的拉力；
（3）當(dāng)ω=2$\sqrt{\frac{g}{L}}$且轉(zhuǎn)動穩(wěn)定時，A向外側(cè)移動的距離多大．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)OA繩剛好拉直時，OA繩的拉力為零，AB繩在豎直方向上的分力等于B的重力，水平方向上的分力提供A做圓周運(yùn)動的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)動的角速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合A所受的合力提供向心力求出OA繩承受的最大拉力．
（3）根據(jù)繩子豎直方向上的分力等于B的重力，繩子水平方向的合力提供向心力求出繩子與豎直方向的夾角，結(jié)合幾何關(guān)系求出A向外側(cè)移動的距離．

解答 解：（1）當(dāng)OA繩剛好拉直時，由幾何關(guān)系知，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin$θ=\frac{1}{2}$，對B分析，在豎直方向上有：
T_ABcosθ=2mg，
${T}_{AB}sinθ=mL{{ω}_{1}}^{2}$，
解得ω₁=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得，
${T}_{m}+{T}_{AB}sinθ=mL{ω}^{2}$，
解得T_m=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$，
（3）當(dāng)$ω=2\sqrt{\frac{g}{L}}$，且轉(zhuǎn)動穩(wěn)定時，設(shè)繩子與豎直方向的夾角為α，則
T_ABcosα=2mg，
${T}_{AB}sinα=m•2Lsinα{ω}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)有：$cosα=\frac{1}{4}$，sinα=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
則A向外側(cè)移動的距離為：$△x=2Lsinα-L=\frac{\sqrt{15}-2}{2}L$．
答：（1）OA段繩剛剛拉直時轉(zhuǎn)動的角速度為$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{3L}}$．
（2）OA段繩能承受的最大的拉力為$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}mg$．
（3）A向外側(cè)移動的距離為$\frac{\sqrt{15}-2}{2}L$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道A物體做圓周運(yùn)動向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行求解．