Question

19．如圖為某小型企業(yè)一道工序示意圖，圖中一樓為原料車間，二樓為生產車間，為了節(jié)約能源，技術人員設計了一個滑輪裝置用來運送原料和成品，在二樓生產的成品裝入A箱，在一樓將原料裝入B箱，而后由靜止釋放A箱，若A箱與成品的總質量為M，B箱與原料的總質量為m（m＜M），這樣在A箱下落的同時會將B箱拉到二樓生產車間，當B箱到達二樓平臺時可被工人接住，若B箱到達二樓平臺時沒有被工人接住的話，它可以繼續(xù)上升h高度速度才能減小到零，不計繩與滑輪間的摩擦及空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）一樓與二樓的高度差H；
（2）在AB箱同時運動的過程中繩對B箱的拉力做功；
（3）AB箱同時運動過程的時間．

Answer 1

分析 （1）B從地面運動二樓平臺的過程，對M、m組成的系統，只有重力做功，根據動能定理列出方程；A落地，B繼續(xù)上升的過程，對m運用動能定理列出方程，聯立即可求得H；
（2）以B箱為研究對象根據動能定理求解繩中拉力對B箱做的功；
（3）A勻加速下降的同時B勻加速上升，根據動能定理求出A落地前瞬時的速度，再根據勻變速直線運動的平均速度公式求出AB同時運動的時間．

解答 解：（1）以A和B組成的系統在運動過程中只有重力做功，根據動能定理有：
$mgH-mgH=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$    ①
地后對B運用動能定理有：
$-mgh=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$       ②
由①②兩式可解得：H=$\frac{M+m}{M-m}h$
（2）以B為研究對象根據動能定理有：
W$-mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得繩對B做的功W=$\frac{2M}{M-m}mgh$
（3）A勻加速下降的同時B勻加速上升，加速度大小相等，故在A下降過程中的平均速度
$\overline{v}=\frac{v+0}{2}=\frac{\sqrt{2gh}}{2}$
所以AB一起運動的時間$t=\frac{H}{\overline{v}}=\frac{\frac{M+m}{M-m}h}{\frac{\sqrt{2gh}}{2}}$=$\frac{M+m}{M-m}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）一樓與二樓的高度差H為$\frac{M+m}{M-m}h$；
（2）在AB箱同時運動的過程中繩對B箱的拉力做功為$\frac{2M}{M-m}mgh$；
（3）AB箱同時運動過程的時間為$\frac{M+m}{M-m}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．

點評 本題繩系統的問題，抓住只有重力對系統做功，根據動能定理（也可以由機械能守恒）列式求解是關鍵，但要注意分過程進行研究，準確選擇研究對象．