Question

12．如圖，三角形AOB為等腰直角三棱鏡的橫截面，以O(shè)A、OB為軸建立直角坐標(biāo)系xoy，OA=OB=L，棱鏡的折射率為n=$\sqrt{2}$．一束平行于斜邊AB的平行光從OB邊射入．光透過棱鏡只考慮一次內(nèi)部反射．
（i）求距離O點(diǎn)多遠(yuǎn)的入射光剛好從A點(diǎn)射出；
（ii）部分光將會從OA邊以平行于AB邊的方向射出，這部分透射光在垂直于光線方向的寬度．

Answer 1

分析 （1）作出光路圖，根據(jù)折射定律求出sini與sinr之間的定量關(guān)系，由三角函數(shù)關(guān)系求出即可．
（2）由于題目平行于AB的方向入射，平行于AB的方向出射，光線在AB中的傳播具有一定的對稱性，結(jié)合該對稱性與光路圖，以及相應(yīng)的幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：（i）設(shè)光線從C點(diǎn)射入剛好從A點(diǎn)射出，入射角與折射角分別為α和β，由折射定律知：
$n=\frac{sinα}{sinβ}$
所以：sinβ=$\frac{sinα}{n}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$
所以：β=30°
所以：$OC=AO•tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$
（ii）根據(jù)題意光線經(jīng)過AB邊全反射后從OA邊AE段射出，結(jié)合光路圖可知，BC之間的光線能經(jīng)AB全反射后從AO之間射出．設(shè)光線寬度為d，由幾何關(guān)系可知，光射到AB界面上后的入射角：γ=90°-[180°-45°-（90°+β）]=75°
而光在介質(zhì)中的臨界角為C，有：sinC=$\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以C=45°＜75°
光線在AB的界面上發(fā)生全反射，BC的寬度為：$\overline{BC}=OB-OC=L-\frac{\sqrt{3}}{3}L$
根據(jù)光路可逆可得：$\overline{AE}=\overline{BC}$=$L-\frac{\sqrt{3}}{3}L$
光線的寬度為：d=$\overline{AE}•sin45°$=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}L$
答：（i）距離O點(diǎn)$\frac{\sqrt{3}}{3}L$遠(yuǎn)的入射光剛好從A點(diǎn)射出；
（ii）部分光將會從OA邊以平行于AB邊的方向射出，這部分透射光在垂直于光線方向的寬度是$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}L$．

點(diǎn)評 該題考查光的折射定律的應(yīng)用，解決幾何光學(xué)問題正確畫出光路圖是解決問題的關(guān)鍵，另外要會靈活借助數(shù)學(xué)知識．