Question

3．中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年送機器人上月球，實地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準備．設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：A．計時表一只；B．彈簧測力計一把；C．已知質(zhì)量為m的物體一個．在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行了第二次測量，利用上述兩次測量的物理量可以推導出月球的半徑和質(zhì)量．（已知引力常量為G，忽略月球的自轉(zhuǎn)的影響）
（1）說明機器人是如何進行第二次測量的？用相應的符號表示第二次測量的物理量，并寫出相關(guān)的物的物理關(guān)系式，
（2）試用上述兩次測量的物理量和已知物理量推導月球半徑和質(zhì)量的表達式．

Answer 1

分析 （1）機器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉(zhuǎn)影響，根據(jù)重力近似等于月球的萬有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關(guān)系式，再飛船在繞月球運行時，由萬有引力提供飛船做圓周運動的向心力列方程，得到月球質(zhì)量與月球半徑、飛船周期的關(guān)系式，再聯(lián)立求解月球半徑和質(zhì)量的表達式．

解答 解：（1）機器人在月球上用彈簧測力計豎直懸掛質(zhì)量為m的物體，靜止時讀出彈簧測力計的讀數(shù)為F，設月球表面重力加速度為g_月，得
mg_月=F．
（2）設月球的質(zhì)量為M，半徑為R，在月球上（忽略月球的自轉(zhuǎn)影響），可知
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$  ①
又mg_月=F，
飛船靠近月球表面繞月球運 行時，近似認為其軌道半徑為月球的半徑R，有$G\frac{Mm}{R^2}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}R$   ②
又T=$\frac{t}{N}$ ③
解得月球的半徑．R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}=\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}Nm}$
月球的質(zhì)量$M=\frac{F^3t^4}{16π^4N^4Gm^3}$．
答：（1）機器人進行第二次測量的內(nèi)容是測量物體在月球上所受的重力．
（2）月球的半徑為$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}Nm}$．月球的質(zhì)量為$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}{N}^{4}G{m}^{3}}$．

點評 登月飛船繞月球旋轉(zhuǎn)與人造衛(wèi)星繞地球運行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運動，由月球的萬有引力提供飛船的向心力．