Question

2．如圖所示，一群同種帶電粒子以一定的初動(dòng)能沿x軸射入平行板電場(chǎng)中，平行極板水平放置，兩極板關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，板長(zhǎng)為l，板右端距y軸距離為$\frac{l}{2}$．且極板間通有正弦式交流電壓，交流電的周期遠(yuǎn)大于粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．所有粒子都能通過(guò)平行板電場(chǎng)，當(dāng)粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)，它們的動(dòng)能最大值為初動(dòng)能的$\frac{4}{3}$倍．在y軸的右側(cè)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，會(huì)再次經(jīng)過(guò)y軸，其中動(dòng)能最小的粒子通過(guò)（0，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l），不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子第一次經(jīng)過(guò)y軸的區(qū)域；  
（2）粒子第二次經(jīng)過(guò)y軸的區(qū)域．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)板間電壓最大時(shí)，粒子離開(kāi)電場(chǎng)的動(dòng)能最大．根據(jù)題意：該粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為初動(dòng)能的$\frac{4}{3}$倍，求出粒子沿y軸方向的分速度．再由類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解粒子第一次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)離O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離，從而區(qū)域的范圍．
（2）當(dāng)板間電壓為零時(shí)，出電場(chǎng)時(shí)速度最小為v₀．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后向下方偏轉(zhuǎn)，由洛倫茲力提供向心力，求出軌跡半徑．由幾何關(guān)系求出進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后再經(jīng)過(guò)y軸時(shí)沿y軸向下的偏轉(zhuǎn)距離．

解答 解：（1）當(dāng)板間電壓最大時(shí)，離開(kāi)電場(chǎng)的動(dòng)能最大，設(shè)粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度為v₀，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的最大速度為v，由題意得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{4}{3}×\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  
又 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   
解得：v_y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
在板間運(yùn)動(dòng)時(shí)有：l=v₀t₁，y₁=$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{1}$      
解得：y₁=$\frac{\sqrt{3}}{6}$l   
出電場(chǎng)到y(tǒng)軸的過(guò)程中有：$\frac{l}{2}={v}_{0}{t}_{2}$  
y₂=v_yt₂，
解得：y₂=$\frac{\sqrt{3}}{6}$l 
則粒子第一次到y(tǒng)軸上時(shí)距離O點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為：y=y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l
由對(duì)稱(chēng)性可知，粒子第一次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)縱坐標(biāo)的范圍為：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$l．
（2）當(dāng)板間電壓為零時(shí)，出電場(chǎng)時(shí)速度最小為v₀
由題意可得，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后向下方偏轉(zhuǎn)，且有：R₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$   
則有：R₀=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l
設(shè)任一粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與x軸夾角為 θ，則有：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$
進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后再經(jīng)過(guò)y軸時(shí)沿y軸向下的偏轉(zhuǎn)距離為：Y=2Rcosθ
并且有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
解之得：Y=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$l
則第二次經(jīng)過(guò)y軸的縱坐標(biāo)范圍為：-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$l≤y≤-$\sqrt{3}$l
答：（1）粒子第一次經(jīng)過(guò)y軸時(shí)縱坐標(biāo)的范圍為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l≤y≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$l．
（2）第二次經(jīng)過(guò)y軸的縱坐標(biāo)范圍為-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$l≤y≤-$\sqrt{3}$l．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、磁場(chǎng)中半徑公式即可正確解題．