Question

15．如圖所示，一小球從斜軌道的某高度處自由滑下，然后沿豎直光滑圓軌道的內(nèi)側(cè)運(yùn)動，若小球剛好能通過圓軌道的最高點(diǎn)．已知小球質(zhì)量為m，圓軌道的半徑為R，重力加速度為g．求：
（1）小球在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小？
（2）小球經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力？
（3）如果忽略摩擦阻力，小球的初位置到圓軌道最低點(diǎn)的豎直距離？

Answer 1

分析 （1）小球剛好能通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，小球在最高點(diǎn)時(shí)恰好由重力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）由動能定理或機(jī)械能守恒定律可以求得球經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度．在最低點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求小球?qū)�軌道的壓力�?br />（3）如果忽略摩擦阻力，小球的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求小球初位置離最低點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）小球在圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律：
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
（2）小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由動能定理有：
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在最低點(diǎn)，設(shè)軌道對小球的支持力大小為N，由牛頓第二定律有：
   N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
可解得  N=6mg
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力大小�?mg，方向豎直向下．
（3）小球從斜軌道運(yùn)動至圓軌道最高點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律有：
  mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=2.5R
即小球的初位置與圓軌道最低點(diǎn)的距離為2.5R．   
答：
（1）小球在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度大小是$\sqrt{gR}$．
（2）小球經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力是6mg，方向豎直向下．
（3）如果忽略摩擦阻力，小球的初位置到圓軌道最低點(diǎn)的豎直距離是2.5R．

點(diǎn)評 本題屬于圓周運(yùn)動中繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動的向心力，對于圓周運(yùn)動中的兩種模型一定要牢牢的掌握�。�