Question

1．如圖甲所示，與x軸成45°角的虛線OM和EF以及彈性擋板GH把坐標(biāo)系的第一象限和第四象限分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個區(qū)域，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域內(nèi)均有理想邊界的垂直紙面向外的勻強磁場，區(qū)域Ⅳ為真空，若不斷有初速度為零且$\frac{q}{m}$=10³C/kg的帶正電粒子經(jīng)過圖乙所示電壓加速后，由P點垂直x軸方向進入 I區(qū)域，已知B₁=B₃=1T，B₂=0.5T，OP=0.4m，EF和GH間的水平距離為d=0.16m．不計帶電粒子的重力和粒子之間的相互作用，求：

（1）帶電粒子在 I區(qū)域里運動的最大軌道半徑；
（2）帶電粒子從P點出發(fā)到第一次離開Ⅱ區(qū)域所用的最短時間；
（3）若帶電粒子與彈性板GH相碰后速度大小和電量不變，碰撞前后速度方向與彈性板GH夾角相等，則第一次進入Ⅲ區(qū)域的帶電粒子從EF邊界離開磁場時出射點到進入點的距離l的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)帶電粒子由P點進入Ⅰ區(qū)域時的速度為v，由動能定理結(jié)合電壓范圍即可求解速度范圍，粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律列式求解最大半徑；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，畫出粒子的運動軌跡，粒子從P點出發(fā)到第一次離開Ⅱ區(qū)域所用的時間為帶電粒子在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域的運動的時間之和，根據(jù)圓心角與周期的關(guān)系分別求出在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域的運動時間，從而求解；
（3）由（2）可知，所有粒子將從EF邊界的同一點A進入Ⅲ區(qū)域，求出粒子在Ⅲ區(qū)域運動的軌道半徑范圍，當(dāng)運動軌跡剛好與GH相切時，粒子向下運動最遠(yuǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子由P點進入Ⅰ區(qū)域時的速度為v，由動能定理得：
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
由乙圖知5V≤U≤20V…②
聯(lián)立①②并帶入數(shù)據(jù)解得：100m/s≤v≤200m/s…③
粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
Bqv=$m\frac{{v}^{2}}{R}$…④
由④式知，當(dāng)v=200m/s時粒子在Ⅰ區(qū)域運動半徑最大，設(shè)為R_m，帶入數(shù)據(jù)解得：
R_m=0.2m…⑤，
（2）依題意有B₁=2B₂，由④式可知，帶電粒子在Ⅱ區(qū)域的軌道半徑是Ⅰ區(qū)域軌道半徑的2倍，由幾何關(guān)系知，進入Ⅱ區(qū)域的粒子將由P點正上方同一Q點沿水平方向離開Ⅱ區(qū)域經(jīng)Ⅳ區(qū)域進入Ⅲ區(qū)域，如答圖甲所示：
由圖可知，當(dāng)v=200m/s時，由⑤式可知，帶電粒子從P點出發(fā)經(jīng)O點進入Ⅱ區(qū)域，到第一次粒子Ⅱ區(qū)域所用的時間最短為：t=t₁+t₂…⑥，
其中t₁為粒子在Ⅰ區(qū)域的運動時間為：${t}_{1}=\frac{{T}_{1}}{2}$…⑦，
t₂為粒子在Ⅱ區(qū)域的運動時間為：${t}_{2}=\frac{{T}_{2}}{4}$⑧，
T₁、T₂分別為帶電粒子在Ⅰ區(qū)域和Ⅱ區(qū)域的運動周期，而粒子在磁場中運動的周期為：T=$\frac{2πR}{v}$…⑨，
由④⑨式得：${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$…（10），
聯(lián)立⑥⑦⑧（10）式并帶入數(shù)據(jù)解得：t=6.18×10^-3s…（11）
（3）由（2）可知，所有粒子將從EF邊界的同一點A進入Ⅲ區(qū)域，如答圖乙所示，由③④式可知，
粒子在Ⅲ區(qū)域運動的軌道半徑范圍為：0.1m≤R≤0.2m…（12），
當(dāng)運動軌跡剛好與GH相切時，粒子向下運動最遠(yuǎn)，此時半徑R=0.16m，粒子到達最遠(yuǎn)，有：AC=2R=0.32m…（13），
當(dāng)粒子軌道半徑最小時，有：AD=2R_n=0.20m…（14），
當(dāng)粒子軌道半徑最大時，與彈性板GJ相碰于N點，由幾何關(guān)系得：
AK=${R}_{m}-\sqrt{{{R}_{m}}^{2}-33tzrr1^{2}}=0.08m$…（15），
根據(jù)對稱性可知，粒子反彈后交EF于S點，所以有：AS=2AK=0.16m＜AD=0.2m…（16），
因此，第一次進入Ⅲ區(qū)域的帶電粒子從EF邊界離開磁場時出射點到進入點的距離范圍為：0.16m≤l≤0.32m．
答：（1）帶電粒子在 I區(qū)域里運動的最大軌道半徑為0.2m；
（2）帶電粒子從P點出發(fā)到第一次離開Ⅱ區(qū)域所用的最短時間為6.18×10^-3s；
（3）第一次進入Ⅲ區(qū)域的帶電粒子從EF邊界離開磁場時出射點到進入點的距離l的取值范圍為0.16m≤l≤0.32m．

點評 本題主要考查了動能定理以及帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動基本公式得直接應(yīng)用，一要仔細(xì)分析粒子的運動情況，二要根據(jù)幾何知識畫出軌跡，這兩點是解答本題的關(guān)鍵，解題時還要注意結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大，屬于難題．