Question

9．如圖，半徑為R（O點為圓心，OC=R）光滑$\frac{1}{4}$圓軌道豎直放置，最高點C的切線水平，一個質量均為m的小球A沿圓軌道外側運動，通過最高點時對軌道壓力為0.75mg，另一個質量為2m 的B球沿圓軌道內側運動，經(jīng)過最高點時對軌道壓力為16mg，兩球可視為質點，試求
（1）A球經(jīng)過最高點的速度；
（2）B球經(jīng)過最高點的速度；
（3）A和B兩球離開最高點C做平拋運動，求兩球落點間的距離．

Answer 1

分析 （1）分析A球受力情況，根據(jù)向心力公式可求得A球在最高點的速度；
（2）分析B球的受力情況，根據(jù)向心力公式可求得B球在最高點時的速度；
（3）兩球均做平拋運動，下落高度相同，根據(jù)平拋運動規(guī)律可求得兩球的落點，則可求得兩球間的距離．

解答 解：（1）對A球在最高點由向心力公式可知：
mg-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$=$\sqrt{\frac{0.25mg}{m}}$=0.5$\sqrt{gR}$；
（2）對B球由向心力公式可得：
16mg+2mg=2m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得：v₂=3$\sqrt{gR}$；
（3）小球從C點開始做平拋運動，由平拋運動規(guī)律可知：
豎直方向：R=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平方向：x=vt
故A球運動的位移x_A=vt=0.5×$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=0.5$\sqrt{2}$R；
B球的位移x_B=v₂t=3×$\sqrt{gR}$×$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=3$\sqrt{2}$R；
故兩球位移的差值為：x_B-x_A=3$\sqrt{2}$R-0.5$\sqrt{2}$R=2.5$\sqrt{2}$R
答：（1）A球經(jīng)過最高點的速度0.5$\sqrt{gR}$；
（2）B球經(jīng)過最高點的速度3$\sqrt{gR}$；
（3）兩球落點間的距離為2.5$\sqrt{2}$R．

點評 本題考查圓周運動的臨界速度及平拋運動的規(guī)律，要注意小球在上面時，只能受向上的支持力；而B球在下方，只能受向下的支持力．