Question

12．如圖所示，在xoy平面第一象限的整個區(qū)域分布碰上勻強(qiáng)磁場，電場方向平行于y軸向下，在第四象限內(nèi)存在有界（含邊界）勻強(qiáng)磁場，其左邊界為y軸，右邊界為x=$\frac{5}{2}$l的直線，磁場方向垂直紙面向外，一質(zhì)量為m、電荷量為q、可看作質(zhì)點的帶正電粒子，從y軸上P點以初速度v₀垂直于y軸射入勻強(qiáng)電場，在電場力作用下從x軸上Q點以與x軸正方向成45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，已知OQ=l，不計粒子重力，求：
（1）OP間的距離．
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．（結(jié)果用m、q、l、v₀表示）

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運動，在x軸方向上做勻速直線運動，在y軸方向做初速度為零的勻加速直線運動，已經(jīng)知道在Q點時的速度方向為45°，可知此時沿兩個坐標(biāo)軸的速度都是v₀，在x軸和y軸分別列式，可求出OP的距離，求出OP間的距離．
（2）對粒子在第四象限中的運動軌道進(jìn)行分析，找到臨界狀態(tài)，即軌道恰好與y軸相切為軌道的最大半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出此時的磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，從而可表示出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）首先要分析粒子恰能第二次進(jìn)入磁場的軌跡，畫出軌跡圖，結(jié)合軌跡圖可求出CQ之間的距離，由幾何關(guān)系再求出在第四象限內(nèi)運動軌道的半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，從而可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入電場時y方向的速度為v_y，則v_y=v₀tan45°
設(shè)粒子在電場中運動時間為t，則
OQ=l=v₀t，
OP=$\frac{{v}_{y}}{2}$t，
由以上各式，解得OP=$\frac{1}{2}$l；
（2）粒子剛好能再進(jìn)入電場的軌跡如圖所示，設(shè)此時的軌跡半徑為r₁，則
r₁+r₁sin45°=l，
解得：r₁=（2-$\sqrt{2}$）l，
令粒子在磁場中的速度為v，則v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$
根據(jù)牛頓第二定律qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：B₁=$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$，
要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍 B≥B₁=$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$；
（3）假設(shè)粒子剛好從x=$\frac{5}{2}$l處磁場邊界與電場的交界D處第二次進(jìn)入磁場，
設(shè)粒子從P到Q的時間為t，則由粒子在電場中運動對稱性可知粒子從第一次出磁場的C點到D的時間為2t，
由水平方向的勻速直線運動可得：CD=2d，
CQ=CD-QD=2d-（2.5d-d）=$\frac{1}{2}$l，
設(shè)此時粒子在磁場中的軌道半徑為r₂，由幾何關(guān)系知：
2r₂sin45°=CQ，
解得：r₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l，
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：B₂=$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$，
要使粒子能第二次進(jìn)磁場，粒子必須先進(jìn)入電場，故磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足：B≤B₂=$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$，
綜上所述要使粒子能第二次進(jìn)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B要滿足：$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$≤B≤$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$；            
答：（1）OP間的距離為$\frac{1}{2}$l．
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍是B≥$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$；．
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍是$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$≤B≤$\frac{4m{v}_{0}}{ql}$．

點評 帶電粒子在電場中的運動，綜合了靜電場和力學(xué)的知識，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運動狀態(tài)和運動過程，然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運動的觀點，選用牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點，選用動能定理和功能關(guān)系求解．經(jīng)對本題的分析可知，粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運動，第一問還可以用能量進(jìn)行求解．
本題第四象限內(nèi)存在著有界磁場，帶電粒子在第四象限內(nèi)運動時，受到洛倫茲力的作用，將做有臨界狀態(tài)的圓周運動，對臨界狀態(tài)的尋找與分析成為了解決此類為題的重點和難點．此種類型的題能充分考查考生的綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．解此類問題的關(guān)鍵是做出帶電粒子運動的軌跡圖，抓住物理過程變化的轉(zhuǎn)折點（列出對應(yīng)的狀態(tài)方程），找出粒子運動的半徑與磁場邊界的約束關(guān)系．