Question

6．如圖所示，直線MN的下方有豎直向下的勻強電場，場強大小為E=700V/m．在電場區(qū)域內有一個平行于MN的擋板PQ；MN的上方有一個半徑為R=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$m的圓形彈性圍欄，在圍欄區(qū)域內有圖示方向的勻強磁場，磁感應強度大小為B=16.28T．圍欄最低點一個小洞b，在b點正下方的電場區(qū)域內有一點a，a點到MN的距離d₁=45cm，到PQ距離d₂=5cm．現(xiàn)將一個質量為m=0.1g，帶電量q=2×10^-3C的帶正電小球（重力不計），從a點由靜止釋放，在電場力作用下向下運動與擋板PQ相碰后電量減少到碰前的0.8倍，且碰撞前后瞬間小球的動能不變，不計小球運動過程中的空氣阻力以及小球與圍欄碰撞時的能量損失，試求：（已知1.25¹⁰=9.31，1.25¹¹=11.628）
（1）求出小球第一次與擋板PQ相碰后向上運動的距離；
（2）小球第一次從小洞b進入圍欄時的速度大��；
（3）小球從第一次進入圍欄到離開圍欄經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析 （1）、在與擋板PQ相碰碰撞時沒有能量損失，只有電量損失．所以每碰一次，回彈的高度都會增加．向下運動時，電場力做正功，向上運動時，電場力做負功．由能量關系可求出第一次碰撞后小球向上運動的高度．
（2）、通過第一問的解題方法，表示出碰撞n次時，小球上升的高度x_n，如果滿足x_n＞d₁+d₂，小球即可進入圓形磁場區(qū)域，由動能定理即可求出此時進入磁場區(qū)域的速度．
（3）、因第二問已求出進入磁場的速度，小球在磁場中做圓周運動，即可求出小球的軌道半徑和周期，通過幾何關系求出小球的偏轉角，從而判斷碰撞的次數(shù)．

解答 解：（1）設小球第一次與擋板相碰后向上運動距離為x₁，則
qEd₂=0.8qEx₁       
x₁=1.25d₂=6.25（cm）     
（2）設第n次與擋板PQ相碰后向上運動距離為x_n，則：0.8ⁿqEx_n=qEd₂
要使小球能進入圍欄，應有：
x_n＞d₁+d₂
綜上：1.25ⁿ＞10
所以：當小球與擋板碰撞11次后，小球將第一次進入圍欄內    
設進入速度大小為v，則應有：$qE{d_2}-{0.8^{11}}qE（{d_1}+{d_2}）=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：v=14（m/s）       
（3）小球進入圓形圍欄后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，如圖所示$q'vB=m\frac{v^2}{r}$   
 所以軌道半徑 $r=\frac{mv}{q'B}=0.5$（m）   
運動周期 $T=\frac{2πr}{v}=\frac{π}{14}$（s）
圖中 $tanθ=\frac{r}{R}=\frac{0.5}{0.866}$所以 θ=30°        
即，當小球每轉過120°圓周就與圍欄碰撞一次，最終經(jīng)過5次碰撞，從小洞b離開圍欄區(qū)，
故在圍欄內運動時間為：$t=6×\frac{1}{3}T=\frac{π}{7}$（s）=0.45s           
答：（1）求出小球第一次與擋板PQ相碰后向上運動的距離為6.25cm．
（2）小球第一次從小洞b進入圍欄時的速度大小為14m/s．
（3）小球從第一次進入圍欄到離開圍欄經(jīng)歷的時間$\frac{π}{7}$．

點評 解決此種類型的題，對于過程的分析成了解決問題的關鍵，在各個過程中要分析清楚變化的量和不變的量．根據(jù)對過程的分析，畫出草圖，充分利用相關的幾何知識來解決問題．該題還考察了邊界問題，要注意分析磁場邊界對運動軌跡的影響．