Question

3．如圖所示，豎直墻壁上固定一輕質(zhì)彈簧，輕質(zhì)彈簧水平放置；A點左側的水平面光滑，右側水平面粗糙；在A點右側x=5m遠處豎直放置一半圓形圓管軌道，圓管內(nèi)壁光滑，軌道半徑R=0.4m．現(xiàn)將一質(zhì)量為m=0.1kg的小滑塊放在彈簧的右端（不拴接），用力向左推滑塊而壓縮彈簧，使彈簧具有E_p彈=2J的彈性勢能；放手后，小滑塊向右彈出．已知小滑塊與A點右側粗糙水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．取g=10m/s²．

（1）試求小滑塊運動到半圓形圓管軌道最低點B處時對軌道的壓力．
（2）若改變半圓形圓管軌道的位置（向左或向右平移），可使得被彈出的小滑塊到達半圓形圓管軌道最高點C處時對軌道壓力的大小等于滑塊的重力，試求此時半圓形圓管軌道最低點B與點A之間的距離．

Answer 1

分析 （1）從小滑塊被釋放到達B點的過程中，據(jù)動能定理列式，在B點根據(jù)向心力公式列式，而彈力做的功等于彈簧具有的彈性勢，聯(lián)立方程即可求解；
（2）在圓周最高點C處，滑塊對軌道的壓力等于其重力，包含兩種情況：第一，當壓力方向向上（滑塊受到的支持力向下），第二，當壓力方向向下（滑塊受到的支持力向上），在C點根據(jù)向心力公式列式，整個過程中根據(jù)動能定理列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）設放手后彈簧對小滑塊做的功為W_彈，小滑塊克服摩擦力做的功為W；運動到半圓形圓管軌道最低點B處時的速度為v_B，受到軌道的支持力為F_N．則
W_彈=E_p彈…①
W=μmgx …②
由動能定理得：W_彈-W=$\frac{1}{2}$mv_B²…③
由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{{v_B}^2}}{R}$…④
聯(lián)立①②③④式，解得：F_N=6N
由牛頓第三定律可得，小滑塊運動到半圓形圓管軌道最低點B處時對軌道的壓力大小為6N，方向向下．
（2）小滑塊到達半圓形圓管軌道最高點C處時對軌道壓力的大小等于滑塊的重力包含兩種情形．
第一種情形：小滑塊受到圓管軌道向下的壓力．設此時小滑塊到達半圓形圓管軌道最高點C處時的速度大小為v_C1，受到圓管軌道向下的壓力為F_N1，半圓形圓管軌道最低點B與點A之間的距離為x₁．則
F_N1=mg…⑤
mg+F_N1=m$\frac{{{v_{C1}}^2}}{R}$…⑥
W_彈-μmgx₁-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C1²…⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦式，代入數(shù)據(jù)解得：x₁=4m
第二種情形：小滑塊受到圓管軌道向上的支持力．設此時小滑塊到達半圓形圓管軌道最高點C處時的速度大小為v_C2，受到圓管軌道向上的支持力為F_N2，半圓形圓管軌道最低點B與點A之間的距離為x₂．則
F_N2=mg…⑧
mg-F_N2=m$\frac{{{v_{C2}}^2}}{R}$…⑨
W_彈-μmgx₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C2²…=10 ⑩
聯(lián)立⑧⑨=10 ⑩式，代入數(shù)據(jù)解得：x₂=6m
答：（1）滑塊運動到半圓形軌道最低點B處時對軌道的壓力為6N；
（2）改變半圓形軌道的位置（左右平移），使得被彈出的滑塊到達半圓形軌道最高點C處時對軌道的壓力大小等于滑塊的重力，則AB之間的距離應調(diào)整為4m或6m．

點評 本題是動能定理與向心力公式的綜合應用來處理圓周運動問題．利用功能關系解題的優(yōu)點在于不用分析復雜的運動過程，只關心初末狀態(tài)即可，平時要加強訓練深刻體會這一點．