Question

5．如圖所示，兩個(gè)星球1和2在引力作用下都繞固定點(diǎn)O（圖中未畫(huà)出）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A為兩星體連線上的一點(diǎn)，A到星球1和2的球心的距離分別為r₁、r₂，且r₁：r₂=2：1．設(shè)想一宇宙航天器運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，航天器上的宇航員看到兩星體一樣大（從物體兩端引出的光線在人眼光心處所成的夾角叫做視角，物體在視網(wǎng)膜上所成像的大小決定于視角），在A點(diǎn)航天器受到兩星體的引力為零，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 星球1和2的密度之比為1：2
• B． 星球1和2的密度之比為2：1
• C． 星球1和2做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1：4
• D． 星球1和2做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1：16

Answer 1

分析 根據(jù)探測(cè)器在A點(diǎn)受兩星球引力為0，可求出兩星球的質(zhì)量比；由視角相等及幾何關(guān)系求出兩星球的半徑之比，從而求出密度之比；兩星球繞連線上某個(gè)固定點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是雙星模型，質(zhì)量與軌道半徑成反比，求出軌道半徑．

解答 解：由題意知，在A點(diǎn)航天器受到兩星體的引力為零，設(shè)兩星球的質(zhì)量分別為${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，探測(cè)器質(zhì)量為m
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{\;}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}=G\frac{{m}_{2}^{\;}m}{{r}_{2}^{2}}$
解得$\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{2}}=\frac{4}{1}$
航天器上的宇航員看到兩星體一樣大，從A點(diǎn)向兩星球作切線，夾角相等，根據(jù)三角形相似得．兩星球半徑之比$\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\frac{2}{1}$
根據(jù)體積公式$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，兩星球的體積之比$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{V}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}=\frac{8}{1}$
根據(jù)$ρ=\frac{m}{V}$
$\frac{{ρ}_{1}^{\;}}{{ρ}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$，故A正確，B錯(cuò)誤．
兩星球繞它們之間的固定點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，具有相同的角速度，設(shè)軌道半徑分別為${r}_{A}^{\;}$、${r}_{B}^{\;}$
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{A}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{B}^{\;}$得${m}_{1}^{\;}{r}_{A}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{B}^{\;}$
軌道半徑之比$\frac{{r}_{A}^{\;}}{{r}_{B}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{1}{4}$，故C正確、D錯(cuò)誤．
故選：AC

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是認(rèn)真審題，注意理解“視角”相等的含義，知道雙星系統(tǒng)靠它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，角速度相等的特點(diǎn)．