Question

(1)為了能滿足上述要求，內(nèi)、外筒間電壓的可能值應(yīng)是多少？
(2)討論上述電壓取最小值時，粒子在磁場中的運動情況。

Answer 1

(1) k =" 1," 2, 3, … (2)

[1] 設(shè)帶電粒子自A點沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場時的速度用v表示，進入磁場后，在洛侖茲力作用下粒子做圓周運動，并從內(nèi)筒表面上的A₁點射出磁場，射出磁場時的速度大小仍為v，方向沿過A₁點的內(nèi)圓筒半徑方向，如圖所示。粒子自A₁射出磁場后便進入兩圓筒間的電場中，在電場力的作用下，粒子做減速直線運動，剛到達外圓筒的內(nèi)壁時，速度恰好減至零。然后粒子又在電場力作用下向A₁點做加速運動，回到時，粒子速度增大到v，并以此速度沿圓筒內(nèi)圓半徑方向第二次進入磁場，在磁場的洛侖茲力作用下，粒子又做圓周運動，并從A₂點射出磁場。此后，粒子又再一次在電場中減速，到達外壁時調(diào)轉(zhuǎn)方向加速回到A₂點，從A₂點進入磁場，再做圓周運動并從A₃點射出磁場。這一過程多次重復(fù)到最后，粒子再次從A點射出磁場。

設(shè)粒子做圓周運動的半徑為r，從A點射入磁場到從A₁點射出磁場經(jīng)歷的時間為t，繞圓心o’轉(zhuǎn)過的角度為Ф，過A點和A₁點的內(nèi)圓筒半徑對其軸線o的張角為θ，如圖所示。有
                ⑴
              ⑵
若粒子在磁場中經(jīng)過n次偏轉(zhuǎn)后能從A點射出磁場，應(yīng)滿足條件nθ = 2kπ ⑶
根據(jù)題意有         ⑷
而                ⑸
解以上各式得n = 2k+1       k =" 1," 2, 3, …    ⑹
       k =" 1," 2, 3, …    ⑺
連結(jié)圖中的oo’，由直角三角形Aoo’可得:                    ⑻
因r是粒子在洛侖茲力作用下做圓周運動的軌道半徑，有      ⑼
由⑵、⑻、⑼式得到粒子射入磁場時的速度            ⑽
設(shè)加在兩圓筒間的電壓為U，由能量守恒有                  ⑾
把⑽式代入⑾式得k =" 1," 2, 3, …    ⑿
[2] 當(dāng)k=1時，對應(yīng)射入磁場的速度為最小，加在兩圓筒間的電壓亦為最小，
                ⒀
                ⒁
由⑹式可知粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的次數(shù)為 n = 3      ⒂
由⑺式可知每次偏轉(zhuǎn)的角度       θ₃ = 120°        ⒃
由⑻式和⑺可知粒子在磁場內(nèi)做圓周運動的半徑   ⒄
粒子在磁場內(nèi)運動的總路程                        ⒅