Question

4．如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，B點(diǎn)為水平面與軌道的切點(diǎn)，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)：
（1）求推力對(duì)小球所做的功．
（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少？最小功為多少．
（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力最�。孔钚⊥屏�為多少．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點(diǎn)由C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得C點(diǎn)的速度，再對(duì)AC由動(dòng)能定理可求得推力所做的功；
（2）要使推力做功最小，則只要小球到達(dá)C點(diǎn)的速度最小即可；由C點(diǎn)的臨界速度可求得最小功；
（3）由（1）中所求得的推力功的表達(dá)式，由數(shù)學(xué)規(guī)律可求得F的最小值及x的對(duì)應(yīng)的條件．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為v_C，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，
在水平方向：x=v_Ct
豎直方向上：2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得 v_C=$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C由動(dòng)能定理有 W_F-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv$_c^2$
解W_F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）要使F力做功最少，確定x的取值，由W_F=2mgR+$\frac{1}{2}$mv$_C^2$知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功W_F就最�。�若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過(guò)C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，由牛頓第二定律有mg=$\frac{{m{υ^2}}}{R}$，則v=$\sqrt{Rg}$
有$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$=$\sqrt{Rg}$，
解得：x=2R
當(dāng)x=2R時(shí)，W_F最小，最小的功：W_F=$\frac{5}{2}$mgR
（3）由式W_F=mg（$\frac{{16{R^2}+{x^2}}}{8R}$）
及W_F=F x
得：F=$\frac{1}{8}$mg（$\frac{16R}{x}+\frac{x}{R}$）
F 有最小值的條件是：$\frac{16R}{x}$=$\frac{x}{R}$；
即x=4R
得最小推力為：F=mg
答：（1）推力對(duì)小球所做的功$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$．
（2）x=2R時(shí)取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力所做的功最少；最小功為$\frac{5}{2}$mgR．
（3）x=4R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)推力最小；最小推力為mg

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，要注意正確分析物理過(guò)程，對(duì)各過(guò)程進(jìn)行正確的受力分析，則可以選擇正確的物理規(guī)律求解．