Question

2．如圖甲所示，與水平面成θ角的兩根足夠長(zhǎng)的平行絕緣導(dǎo)軌，間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌間有垂直導(dǎo)軌平面方向、等距離間隔的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B；導(dǎo)軌上有一質(zhì)量為m的矩形金屬框abcd，其總電阻為R，框的寬度ab與磁場(chǎng)間隔相同，框與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為?；開始時(shí)，金屬框靜止不動(dòng)，重力加速度為g；

（1）若磁場(chǎng)以某一速度沿直導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框恰好不上滑，求金屬框中電流大��；
（2）若磁場(chǎng)以速度v₀沿直導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)，金屬框也會(huì)沿直導(dǎo)軌向上勻速運(yùn)動(dòng)，為了維持金屬框的勻速運(yùn)動(dòng)，求磁場(chǎng)提供的最小功率；
（3）若t=0時(shí)磁場(chǎng)沿直導(dǎo)軌向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；金屬框經(jīng)一段時(shí)間也由靜止開始沿直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)，其v-t關(guān)系如圖乙所示（CD段為直線，△t、v₁為已知）；求磁場(chǎng)的加速度大�。�

Answer 1

分析 （1）依據(jù)金屬框恰好不上滑，結(jié)合受力分析，及平衡條件，即可求解金屬框中的電流；
（2）根據(jù)磁場(chǎng)提供的最小功率，結(jié)合切割感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，及閉合電路歐姆定律，與平衡條件，即可求解；
（3）對(duì)金屬框圖乙中A點(diǎn)受力分析，依據(jù)平衡條件，及切割感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，及閉合電路歐姆定律，再對(duì)對(duì)金屬框圖乙中C點(diǎn)，利用牛頓第二定律，及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）金屬框恰好不上滑，由平衡條件：F_安=mgsinθ+μmgcosθ
而F_安=2BIL
解得：I=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{2BL}$
（2）由能量守恒可得，P=I²R+mgv′sinθ+μmgv′cosθ （其中v′為金屬框勻速運(yùn)動(dòng)的速度）
金屬框中電動(dòng)勢(shì)為：E=2BL（v-v′）    
金屬框中電流為：I=$\frac{E}{R}$                    
對(duì)金屬框由平衡條件：2BIL=mgsinθ+μmgcosθ
解得：P=（mgsinθ+μmgcosθ）v
（3）
對(duì)金屬框圖乙中A點(diǎn)：
由平衡條件：2BIL=mgsinθ+μmgcosθ
金屬框中電動(dòng)勢(shì)為：E=2BLv₀（其中v₀為磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度）
金屬框中電流為：I=$\frac{E}{R}$ 
對(duì)金屬框圖乙中C點(diǎn)：
由牛頓第二定律：2BI1L-（mgsinθ+μmgcosθ）=m
金屬框中電動(dòng)勢(shì)為：E1=2BL（vt-v1）（其中v_t為磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度）
金屬框中電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
磁場(chǎng)勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小等于金屬框勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小，
對(duì)磁場(chǎng)v_t=v0+a△t  
解得：a=$\frac{4{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{4{B}^{2}{L}^{2}△t-mR}$
答：（1）金屬框中電流大��；
（2）磁場(chǎng)提供的最小功率；
（3）磁場(chǎng)的加速度大小．

點(diǎn)評(píng) 由于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)使得穿過(guò)線框的磁通量發(fā)生變化，線框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流在磁場(chǎng)中又受到安培力從而使線框開始沿磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方向做加速運(yùn)動(dòng)，需要注意的是使電路產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的速度v₂，不是線框的速度而是線框相對(duì)于磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度即v₁-v₂，這是解決本題的關(guān)鍵所在；另當(dāng)線框加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，能通過(guò)運(yùn)動(dòng)分析確定磁場(chǎng)的加速度必須和線框的加速度相同時(shí)，線框才能做勻加速運(yùn)動(dòng)．
第二個(gè)問：
解法二：
由功能關(guān)系可得，磁場(chǎng)提供的最小功率等于磁場(chǎng)克服安培力做功的功率，
P=F_安v
對(duì)金屬框由平衡條件：F_安=mgsinθ+μmgcosθ
解得：P=（mgsinθ+μmgcosθ）v．