Question

12．如圖所示，一質(zhì)量為m=2kg的滑塊從半徑為R=0.45m的光滑四分之一圓弧軌道的頂端A處由靜止滑下，A點(diǎn)和圓弧對(duì)應(yīng)的圓心O點(diǎn)等高，圓弧的底端B與水平傳送帶平滑相接．已知傳送帶勻速運(yùn)行的速度為v₀=5m/s，B點(diǎn)到傳送帶右端C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)=4m．當(dāng)滑塊滑到傳送帶的右端C時(shí)，其速度恰好與傳送帶的速度相同．取g=10m/s²，求：
（1）滑塊到達(dá)底端B時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）此過程中，由于滑塊與傳送帶之間的摩擦而產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理，求出滑塊到達(dá)底端B時(shí)的速度．滑塊經(jīng)過B時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解滑塊對(duì)軌道的壓力；
（2）滑塊滑上傳送帶后向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，由題，滑塊滑到傳送帶的右端C時(shí)，其速度恰好與傳送帶的速度相同，根據(jù)動(dòng)能定理或牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出滑塊從B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求出此時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移，得到滑塊與傳送帶的相對(duì)位移，因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q等于滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)位移大小的乘積．

解答 解：（1）設(shè)滑塊到達(dá)底端B時(shí)的速度大小為v_B，滑塊從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，由動(dòng)能定理，有：
$mgR=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
代入數(shù)據(jù)可解得：${v_B}=\sqrt{2gR}=3m/s$
在B端，由牛頓第二定律有：
$N-mg=m\frac{{{v_B}^2}}{R}$
所以有：N=3mg=60N
根據(jù)牛頓第三定律，滑塊對(duì)軌道的壓力大小為60N，方向豎直向下．
（2）滑塊從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，由動(dòng)能定理得：$μmgL=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}m{v_B}^2$
代入數(shù)據(jù)可得：μ=0.2
（3）滑塊在傳送帶上滑動(dòng)的加速度為：$a=\frac{μmg}{m}=2m/{s^2}$
滑塊從B到C的時(shí)間為：$t=\frac{{{v_0}-{v_B}}}{a}=1s$
在此過程中傳送帶運(yùn)動(dòng)的距離為：x=v₀t=5m
滑塊與傳送帶的相對(duì)位移為：△x=x-L=1m
所以摩擦生熱為：Q=μmg△x=4J
答：（1）滑塊到達(dá)底端B時(shí)對(duì)軌道的壓力是60N，方向豎直向下；
（2）滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.2；
（3）此過程中，由于滑塊與傳送帶之間的摩擦而產(chǎn)生的熱量Q是4J．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理、向心力、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合應(yīng)用，容易出錯(cuò)的地方是：Q=μmg△x，應(yīng)根據(jù)相對(duì)位移求解摩擦生熱．