Question

4．如圖所示的坐標(biāo)系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第一、第二象限內(nèi)，既無電場也無磁場，在第三象限，存在沿y軸正方向的勻強電場和垂直xy平面（紙面）向里的勻強磁場，在第四象限，存在沿y軸負(fù)方向、場強大小與第三象限電場場強相等的勻強電場．一質(zhì)量為m、電量為q的帶電質(zhì)點，從y軸上y=h處的P₁點以一定的水平初速度沿x軸負(fù)方向進入第二象限．然后經(jīng)過x軸上x=-2h處的P₂點進入第三象限，帶電質(zhì)點恰好能做勻速圓周運動．之后經(jīng)過y軸上y=-2h處的P₃點進入第四象限．（運動軌跡如圖）已知重力加速度為g．求：
（1）粒子到達(dá)P₂點時速度的大小和方向；
（2）第三象限空間中電場強度和磁感應(yīng)強度的大小；
（3）帶電質(zhì)點在第四象限空間運動過程中最小速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先做平拋運動，將運動分解成水平方向勻速直線運動與豎直方向自由落體運動，從而求出粒子到達(dá)P₂點時速度的大小和方向；
（2）當(dāng)帶電粒子進入電場、磁場與重力場中時，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運動，由平衡可得出電場強度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強度大小．
（3）粒子最后粒子進入電場與重力場中時，做類斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻減速直線運動．當(dāng)豎直方向的速度減小到0．此時質(zhì)點速度最小，根據(jù)速度的分解求出最小速度．

解答 解：（1）質(zhì)點從P₁到P₂，由平拋運動規(guī)律得：
h=$\frac{1}{2}$gt²，
得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
則2h=v₀t，
得：v₀=$\frac{2h}{t}$=$\sqrt{2gh}$
v_y=gt=$\sqrt{2gh}$ 
故粒子到達(dá)P₂點時速度的大小為：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{gh}$，
方向與x軸負(fù)方向成45°角．
（2）質(zhì)點從P₂到P₃，重力與電場力平衡，洛侖茲力提供向心力Eq=mg，
且有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)幾何知識得：（2R）²=（2h）²+（2h）²，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，
B=$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$
（3）質(zhì)點進入第四象限，做類斜上拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做勻減速直線運動．當(dāng)豎直方向的速度減小到0．此時質(zhì)點速度最小，且等于v在水平方向的分量，則：
v_min=vcos45°=$\sqrt{2gh}$，方向沿x軸正方向．
答：（1）粒子到達(dá)P₂點時速度的大小是2$\sqrt{gh}$，方向與x軸負(fù)方向成45°角．
（2）第三象限空間中電場強度是$\frac{mg}{q}$，磁感應(yīng)強度的大小是$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）帶電質(zhì)點在第四象限空間運動過程中最小速度的大小是$\sqrt{2gh}$，方向沿x軸正方向．

點評 本題考查帶電粒子在場中三種運動模型：勻速圓周運動、平拋運動和類斜拋運動，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力．