Question

7．萬(wàn)有引力定律清楚的向人們揭示復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的背后隱藏著簡(jiǎn)潔的科學(xué)規(guī)律，天上和地上的萬(wàn)物遵循同樣的科學(xué)法則．
（1）當(dāng)卡文迪許測(cè)量出引力常數(shù)G以后，他驕傲地說(shuō)自己是“稱量出地球質(zhì)量”的人．當(dāng)時(shí)已知地面的重力加速度g和地球半徑R，根據(jù)以上條件，求地球的質(zhì)量；
（2）隨著我國(guó)“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器降落月球，“玉兔”巡視器對(duì)月球進(jìn)行探索，我國(guó)對(duì)月球的了解越來(lái)越深入．若已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月，嫦娥三號(hào)在降落月球前某階段繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，試求嫦娥三號(hào)該階段繞月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，可解得地球的質(zhì)量M．
（2）根據(jù)月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力列式，嫦娥三號(hào)在降落月球前某階段繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，某物體的質(zhì)量為m，則根據(jù)地球?qū)ξ矬w的吸引力就是物體的重力可知：mg=$\frac{GMm}{R^2}$，
解得地球的質(zhì)量為：M=$\frac{{g{R^2}}}{G}$；
（2）因?yàn)樵虑虮砻娴闹亓�加速度為g_月，故有：mg_月=$\frac{{G{M_月}m}}{{{R_月}^2}}$，
嫦娥三號(hào)在降落月球前某階段繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$\frac{{G{M_月}{m_星}}}{r^2}$=${m_星}\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$，
聯(lián)立以上兩式，解之得：嫦娥三號(hào)該階段繞月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：r=$\root{3}{{\frac{{{g_月}{T^2}{R_月}^2}}{{4{π^2}}}}}$．
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）嫦娥三號(hào)該階段繞月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{{g}_{月}{T}^{2}{{R}_{月}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要掌握兩個(gè)關(guān)系：星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力；環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由萬(wàn)有引力提供．這兩個(gè)關(guān)系可以解決天體運(yùn)動(dòng)的一切問(wèn)題．