Question

4．如圖甲所示，豎直平面內(nèi)有一半徑R=1m的光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB，其半徑AO水平，其右側(cè)緊靠有質(zhì)量M=1kg的木板，木板靜止在水平地面CD上，木板上表面與軌道AB的末端B相切．現(xiàn)將質(zhì)量m=2kg的小物塊（可視為質(zhì)點）從A點正上方h高度P處由靜止釋放，進入軌道AB，滑上木板，木板立即向右運動．已知物塊滑上木板后的速度-時間圖象如圖乙所示，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上，取重力加速度大小g=10m/s²．求：
（1）h值；
（2）物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁和木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂；
（3）木板運動的總路程L和系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的總熱量Q．

Answer 1

分析 （1）由圖乙可讀出物塊經(jīng)過B點時的速度大小為υ_B=5m/s，物塊由P處運動到B處的過程，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律求h．
（2）物塊滑上木板后做勻減速運動，木板做勻加速運動，速度相同后一起做勻減速運動，由v-t圖象的斜率求出兩段過程的加速度，由牛頓第二定律求物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁和木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂．
（3）根據(jù)位移時間公式求出木板運動的總路程L．根據(jù)能量守恒定律求出摩擦生熱Q．

解答 解：（1）由圖乙知，物塊經(jīng)過B點時的速度大小為：υ_B=5m/s
物塊由P處運動到B處的過程，根據(jù)機械能守恒定律有：
mg（R+h）=$\frac{1}{2}$mυ_B²                  
得：h=0.25m                         
（2）由圖乙知，t=$\frac{5}{6}$s時物塊與木板的速度大小均為為：υ=2.5m/s
0～$\frac{5}{6}$s時間內(nèi)，物塊的加速度大小為：a₁=$\frac{{v}_{B}-v}{t}$=3m/s²      
木板的加速度大小為：a₂=$\frac{υ}{t}$=3m/s²      
根據(jù)牛頓第二定律有：
μ₁mg=ma₁                           
μ₁mg-μ₂（ M+m ）g=Ma₂            
得：μ₁=0.3，μ₂=0.1                    
（3）假設(shè)t=$\frac{5}{6}$s后物塊與木板相對靜止地一起做勻減速直線運動，則有：
μ₂（ M+m ）g=（ M+m ）a₃              
得：a₃=1m/s²
由于a₃＜a₁，所以假設(shè)成立
對木板，有：υ²=2a₂L₁，υ²=2a₃L₂    
則得：L=L₁+L₂=$\frac{25}{6}$m                   
最終物塊與木板都靜止，根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的總熱量為：
Q=$\frac{1}{2}$mυ_B²=25J   
答：（1）h值是0.25m；
（2）物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁是0.3，木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂是0.1；
（3）木板運動的總路程L是$\frac{25}{6}$m，系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的總熱量Q是25J．

點評 解決本題時關(guān)鍵要明確物體的運動情況，采用隔離法和整體法相結(jié)合的方法研究物體的加速度，同時要分析清楚能量是如何如何轉(zhuǎn)化的．