Question

15．由中國科學院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月 19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質量分布均勻的球體．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號所在處與“天官一號”所在處的加速度之比為（　�。�

• A． $\frac{R-d}{R+h}$
• B． $\frac{（R-d）^{2}}{（R+h）^{2}}$
• C． $\frac{（R-d）（R+h）}{{R}^{2}}$
• D． $\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d的地球內部的重力加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的重力加速度，根據(jù)地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關系求解深度為d處的重力加速度與地面重力加速度的比值．衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，運用萬有引力提供向心力可以解出高度為h處的加速度，再求其比值．

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的質量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表達式可寫成：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}πGρR$．
根據(jù)題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的地球內部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$．
根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，“天宮一號”的加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{a}{g}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{g′}{a}=\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$，故D正確，A、B、C錯誤．
故選：D．

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在地球內部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在地球內部距離地面d處所謂的地球的質量不是整個地球的質量而是半徑為（R-d）的球體的質量．