Question

14．在如圖的xOy坐標(biāo)系中．A（-L，0）、C是x軸上的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，L）．在第二象限內(nèi)以D（-L，L）為圓心、L為半徑的$\frac{1}{4}$圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在第一象限三角形OPC之外的區(qū)域，分布著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為+q的相同粒子，從A點(diǎn)平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁場(chǎng)區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點(diǎn)
進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后恰好通過(guò)C點(diǎn)．已知a=30°，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直，進(jìn)而電場(chǎng)后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求解電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）設(shè)粒子的速度方向與x軸正方向的夾角為θ，粒子從F點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由于r=L，故四邊形ADFO′為菱形，帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，速度方向沿x軸正方向，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求出粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)的表達(dá)式，從而求出x的范圍．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r，粒子初速度為v₀，
則$Bq{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系得：r=L，
沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直，
設(shè)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₀，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，則
qE=ma，
$\frac{L}{tanα}={v}_{0}{t}_{0}$，
L=$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$
解得：E=$\frac{2q{B}^{2}L}{3m}$
（2）若粒子的速度方向與x軸正方向的夾角為θ，粒子從F點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由于r=L，故四邊形ADFO′為菱形，
O′F平行AD，v_F⊥O′F，
帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，速度方向沿x軸正方向，則有：
y_F=L（1-cosθ），
粒子從F′通過(guò)PC，則
${x}_{F′}=\frac{L-{y}_{F}}{tanα}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，從C′通過(guò)x軸離開(kāi)電場(chǎng)，沿x軸方向的位移為x，
x=v₀t，${y}_{F}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
粒子到達(dá)x軸的坐標(biāo)為x_C′，x_C′=x_F′+x
${x}_{C′}=\sqrt{3}L（cosθ+\sqrt{1-cosθ}）$（0＜θ≤90°）
當(dāng)θ=90°時(shí)，x_C′的最小值${x}_{min}=\sqrt{3}L$，
當(dāng)$cosθ=\frac{3}{4}$時(shí)，x_C′的最大值${x}_{max}=\frac{5\sqrt{3}}{4}L$
所以x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間為$\sqrt{3}L≤{x}_{C′}≤\frac{5\sqrt{3}}{4}L$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{2q{B}^{2}L}{3m}$；
（2）x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間為$\sqrt{3}L≤{x}_{C′}≤\frac{5\sqrt{3}}{4}L$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線(xiàn)的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．