Question

15．質量為1.0kg的小球沿光滑的圓軌道在豎直平面內做圓周運動，圓軌道的半徑為10m．若小球在軌道的最低點的重力勢能是50J，則小球在最低點對軌道的壓力最小值是60N，小球具有的機械能最少是300J．

Answer 1

分析 當小球恰好通過圓軌道最高點時，通過最高點的速度最小，通過最低點的速度也最小，小球在最低點對軌道的壓力即最�。�先由牛頓第二定律求出最高點的最小速度，由機械能守恒定律求最低點的最小速度，再由牛頓第二定律、第三定律結合求出小球在最低點對軌道的壓力最小值．結合最小動能，得到最小的機械能．

解答 解：設小球通過最高點和最低點的最小速度分別為v₁和v₂．
在最高點，由重力等于向心力，得 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
小球從最高點運動到最低點的過程，由機械能守恒定律得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在最低點，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯立解得，小球在最低點對軌道的壓力最小值 N=6mg=60N
且 v₂=$\sqrt{5gR}$=10$\sqrt{5}$m/s
小球具有的機械能最少是 E=E_p+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=50+$\frac{1}{2}×1×（10\sqrt{5}）^{2}$=300J
故答案為：60，300．

點評 本題與繩子模型類似，要明確小球到達圓軌道最高點的臨界條件：重力等于向心力，可求得最高點的臨界速度．