Question

14．如圖所示，粒子源能放出初速度為0，比荷均為$\frac{q}{m}$=1.6×10⁴C/kg的負電荷，進入水平方向的加速電場中，加速后的粒子正好能沿圓心方向垂直進入一個半徑為r=0.1m的圓形磁場區(qū)域，磁感應強度隨時間變化的關系為：B=0.5sinωt（T），在圓形磁場區(qū)域右邊有一屏，屏的高度為h=0.6 m，屏距磁場右側距離為L=0.2 m，且屏中心與圓形磁場圓心位于同一水平線上．現要使進入磁場中的帶電粒子能全部打在屏上，試求加速電壓的最小值為多少？

Answer 1

分析 根據粒子做勻速圓周運動的半徑公式，確定出對應的最大偏轉角的速度，然后由帶電粒子在電場中電場力做功，由動能定理即可求出加速電壓．

解答 解：由帶電粒子在磁場中運動的規(guī)律可知，粒子射出磁場后速度的方向沿過圓心的方向，所以粒子運動的軌跡如圖：
由題可知：OO′=r+L=0.1m+0.2m=0.3m
$O′A=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{1}{2}×0.6m=0.3$m
所以粒子的最大偏轉角為：$tanθ=\frac{O′A}{OO′}=\frac{0.3}{0.3}=1$
θ=45°
帶電粒子在磁場中運動的過程中，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}$
可知：粒子的速度越小，磁場的磁感應強度越大，粒子偏轉的半徑越小，偏轉的角度越大．當磁感應強度大小為±0.5T時，粒子射出磁場時偏轉的角度最大時，即偏轉角是45度時粒子的速度最小，由幾何關系得：
$\frac{r}{R}=tan\frac{45°}{2}=tan22.5°$
粒子在磁場中的速度：$v=\frac{qBR}{m}=\frac{qBr}{m•tan22.5°}$
粒子在電場中加速的過程中，電場力做功得：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以$U=\frac{m{v}^{2}}{2q}=\frac{m}{2q}•（\frac{{q}^{2}{B}^{2}{r}^{2}}{{m}^{2}ta{n}^{2}22.5°}）$=$\frac{1}{2}•\frac{q}{m}•\frac{{B}^{2}{r}^{2}}{tan22.5°}=\frac{1}{2}×1.6×1{0}^{4}$×$\frac{0．{5}^{2}×0．{1}^{2}}{0.41{4}^{2}}$≈117V
要使進入磁場中的帶電粒子能全部打在屏上，加速電壓的最小值為117V．
答：加速電壓的最小值為117V．

點評 考查粒子在磁場中做勻速圓周運動與帶電粒子在電場中的加速，掌握處理的方法，理解牛頓第二定律和動能定理的應用，注意已知長度與運動軌道半徑的正確關系．