Question

17．如圖所示，一個半圓形玻璃磚的截面圖，AB與OC垂直，半圓的半徑為R，一束平行單色光垂直于AOB所在的截面射入玻璃體，其中距O點距離為$\frac{R}{2}$的一條光線在玻璃體右側(cè)折射出來，與直線OC交于D點，OD=$\sqrt{3}$R，求：
（Ⅰ）此玻璃磚的折射率是多少？
（Ⅱ）若在玻璃磚平面AOB某區(qū)域貼上一層不透光的黑紙，平行光照射玻璃磚后，右側(cè)沒有折射光射出，黑紙在AB方向的寬度至少是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出逃跑圖，由幾何關(guān)系求出入射角和折射角，即可由折射定律求此玻璃磚的折射率．
（Ⅱ）平行射到ACB弧面上會發(fā)生全反射，設(shè)光線IJ恰好發(fā)生全反射，其入射角等于臨界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出C，再由幾何知識求出不能在ACB面上發(fā)生全反射的平行的寬度，即為所求黑紙在AB方向的寬度．

解答 解：（I）連接OE并延長至H，作EF垂直于OD于F，光纖與AB的交點為G，

由幾何關(guān)系可知，∠EOD=30°，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
再由三角函數(shù)可得∠DEH=60°，即折射角 r=60°     
所以此玻璃的折射率為：n=$\frac{sinir}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（ II）設(shè)光線IJ恰好發(fā)生全反射，則∠IJO 為臨界角C

所以有 sin∠IJO=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
根據(jù)幾何關(guān)系有 sin∠IJO=$\frac{OI}{OJ}$
求得：OI=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R                
所以黑紙寬度至少是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R．
答：（Ⅰ）此玻璃磚的折射率是$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）黑紙在AB方向的寬度至少是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握幾何光學(xué)問題中的折射定律和全反射臨界角公式，運用幾何知識結(jié)合進行解答．