Question

3．2013年12月6日17時(shí)53分，嫦娥三號(hào)探測(cè)器成功完成一次“太空剎車(chē)”動(dòng)作，順利進(jìn)入距月面平均高度H=100km的環(huán)月圓軌道，然后再次變軌進(jìn)入橢圓軌道，最后進(jìn)行月球表面軟著陸．軟著陸過(guò)程可簡(jiǎn)化為三個(gè)階段：距月球表面15km時(shí)打開(kāi)反推發(fā)動(dòng)機(jī)減速，下降到距月球表面h₁=100m高度（此高度可認(rèn)為十分接近月球表面）時(shí)懸停，尋找合適落月點(diǎn)；找到落月點(diǎn)后繼續(xù)下降，距月球表面h₂=4m時(shí)速度再次減為0；此后，關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，使它做自由落體運(yùn)動(dòng)落到月球表面．已知嫦娥三號(hào)質(zhì)量為m，月球表面重力加速度為g，月球半徑為R，忽略嫦娥三號(hào)的質(zhì)量變化．求嫦娥三號(hào)（所有結(jié)果均用題給字母表示）：
（1）經(jīng)“太空剎車(chē)”后的速度大��；
（2）懸停時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其的作用力；
（3）從懸停到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其做的功．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)“太空剎車(chē)”后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，萬(wàn)有引力等于重力求出經(jīng)“太空剎車(chē)”后的速度．
（2）懸停時(shí)重力和發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)探測(cè)器的作用力相等，根據(jù)平衡求出作用力的大�。�
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出整個(gè)過(guò)程發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其做功的大小．

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量M，在圓軌道時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律
$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+H}$，
靜止在月球表面上的物體m′
$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m′g$，
公式代入變換后得：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+H}}$，
（2）因受力平衡，有    F=mg             
（3）從h₁=l00m處到達(dá)h₂=4m處過(guò)程，設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)做功W₁
由動(dòng)能定理得  mg（h₁-h₂）+W₁=0   
從h₂=4m處落至月面過(guò)程，關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)動(dòng)機(jī)做功為0
得發(fā)動(dòng)機(jī)做功W=W₁+0=mg（h₁-h₂）．
答：（1）經(jīng)“太空剎車(chē)”后的速度大小為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+H}}$；
（2）懸停時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其的作用力為mg；
（3）從懸停到落至月球表面，發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其做的功為mg（h₁-h₂）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．